Matematyka.pl

Udowodnij, że \(\displaystyle{ 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n \cdot n!=(n+1)!-1}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 1}\).

Wiem, że w pierwszy kroku należy udowodnić, że L(0)=P(0) ale w kroku nie potrafię udowodnić, że L(n+1)=P(n+1).

Z góry dziękuję za pomoc

Drugi krok indukcyjny:
pokazujemy, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest \(\displaystyle{ 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1}\), to także \(\displaystyle{ 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+2)!-1}\)
Z założenia indukcyjnego mamy, że
\(\displaystyle{ 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)\cdot (n+1)!}\)
i teraz po prostu wyciągamy przed nawias:
\(\displaystyle{ (n+1)!-1+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)!(1+n+1)-1=(n+1)!(n+2)-1=(n+2)!-1}\)
co kończy dowód drugiego kroku indukcyjnego.

Okej, widzę swój błąd. Po prostu zamiast wziąć pod uwagę \(\displaystyle{ ... + (n+1) \cdot (n+1)!}\) wziąłem tylko pod uwagę \(\displaystyle{ ... + (n+1)}\).

Bardzo dziękuję za pomoc