nie wiem jak się zabrać za te przykłady, jak na to patrzeć,że suma czemuś sie równa. ..=/
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)} =\frac{n}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ x^{n} - 1=(x-1) \sum_{i=0}^{n-1}={ x}^{i}}\)
dowód indukcyjny
-
Margaretta
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 9 lip 2004, o 15:24
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Police
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2879
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
dowód indukcyjny
1)
Sprawdź sobie jakieś małe \(\displaystyle{ n}\).
Niech wzór będzie prawdziwy dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} = \frac{n}{n+1}}\).
Dodajmy stronami do tego \(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\).
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} = \frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}}\), co kończy dowód kroku indukcyjnego.
Napisz w czym leży problem z drugim przykładem? Tak samo zakładasz sobie prawdziwość wzoru dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), po czym dowodzisz, że wynika z tego prawdziwość wzoru dla \(\displaystyle{ n+1}\).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Sprawdź sobie jakieś małe \(\displaystyle{ n}\).
Niech wzór będzie prawdziwy dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} = \frac{n}{n+1}}\).
Dodajmy stronami do tego \(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)(n+2)}}\).
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} = \frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}}\), co kończy dowód kroku indukcyjnego.
Napisz w czym leży problem z drugim przykładem? Tak samo zakładasz sobie prawdziwość wzoru dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), po czym dowodzisz, że wynika z tego prawdziwość wzoru dla \(\displaystyle{ n+1}\).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki