Matematyka.pl

Mam problem z następującym zadaniem z indukcji:

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) wszystkich liczb naturalnych, takim że dla pewnej ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n_{0}}\)
1. \(\displaystyle{ n_{0}\in A}\)
2. dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\): jeśli \(\displaystyle{ n\ge n_{0}}\) i \(\displaystyle{ n\in A}\), to \(\displaystyle{ n+1\in A}\)
to każda liczba naturalna \(\displaystyle{ n\ge n_{0}}\) należy do \(\displaystyle{ A}\)

Próbowałem to rozwiązać w ten sposób:

Zauważam, że każde \(\displaystyle{ n\ge n_{0}}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ n_{0}-1+k}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \NN}\).
Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie zbiorem liczb naturalnych, takim że dla każdego \(\displaystyle{ k}\) należącego do \(\displaystyle{ \NN}\), \(\displaystyle{ k\in B}\) wtedy i wtedy, gdy \(\displaystyle{ (n_{0}-1+k)\in A}\).
Z założenia 1 wnioskuję, że \(\displaystyle{ 1\in B}\). Następnie zakładam, że pewne \(\displaystyle{ k\in B}\), z tego na mocy założenia 2 wynika, że \(\displaystyle{ (n_{0}+k)\in A}\) co jest równoważne z tym, że \(\displaystyle{ k+1\in B}\).
Jako, że spełnione są założenia indukcji zupełnej dla zbioru \(\displaystyle{ B}\) wnioskuję, że \(\displaystyle{ B=\NN}\). Oznacza to, iż każde \(\displaystyle{ n\ge n_{0}}\) należy do \(\displaystyle{ A}\)

Czy moje rozwiązanie jest poprawne?

Czekaj, czekaj. Czy Ty przypadkiem nie próbujesz udowodnić twierdzenia o indukcji matematycznej korzystając z twierdzenia o indukcji matematycznej?...

Nie. Zauważ, że dowodzone twierdzenie jest inną wersją zasady indukcji matematycznej, którą chcemy dowieść odwołując się do wersji podstawowej.

JK

jutrvy pisze:Czekaj, czekaj. Czy Ty przypadkiem nie próbujesz udowodnić twierdzenia o indukcji matematycznej korzystając z twierdzenia o indukcji matematycznej?...

W podręczniku zadanie znajduje się wśród ćwiczeń dotyczących dowodzenia przy użyciu indukcji, dlatego założyłem, że mam tego dowieść przy jej pomocy. Ponadto w dziale poświęconym indukcji część twierdzeń jest dowodzona w podobny sposób.

Jan Kraszewski pisze:Nie. Zauważ, że dowodzone twierdzenie jest inną wersją zasady indukcji matematycznej, którą chcemy dowieść odwołując się do wersji podstawowej.

JK

I właśnie tego próbowałem dokonać, co nie do końca mogło mi wyjść.

Jest dobrze.

JK