Dowód indukcyjny (równania diofantycznego?)

donradman · Post autor: **donradman** » 1 mar 2016, o 16:23

Witam. Mam do rozwiązania zadanie z indukcji matematyczne/matematyki dyskretnej a mianowicie:

Udowodnić indukcyjnie, że mając nieograniczoną ilość monet o wartości \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 5\mbox{ zł}}\) można kupić w automacie nie wydającym reszty dowolny napój którego cena wynosi \(\displaystyle{ n>5\mbox{ zł}}\).

Nie wiem za bardzo jak się zabrać do tego zadania. Liczę na jakieś podpowiedzi/wskazówki co do rozwiązania zadania.

Milczek · Post autor: **Milczek** » 1 mar 2016, o 17:12

Masz równanie \(\displaystyle{ 2x+5y=n}\) i dla \(\displaystyle{ x,y \in N}\) masz wykazać że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) istnieje rozwiązanie.

ldurniat · Post autor: **ldurniat** » 8 mar 2016, o 00:52

Zauważ, że \(\displaystyle{ n=2k}\) lub \(\displaystyle{ n=2m+5, m,k\in\mathbb{N}.}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 8 mar 2016, o 05:47

A może tak na chłopski rozum?
Wsk: wystarczy pokazać, że uda się kupic za \(\displaystyle{ 5}\) i za \(\displaystyle{ 6}\) (uzasadnij dlaczego).