Matematyka.pl

Potrzebuję pomocy z takim zadaniem:

Metodą indukcji udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2},...,a _{n}}\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi takimi, że \(\displaystyle{ a _{1} \cdot a _{2} \cdot ... \cdot a _{n}=1}\), to \(\displaystyle{ a _{1}+a _{2}+...+a _{n} \ge n}\).

Teza jest jasna dla \(\displaystyle{ n=1}\).
Poczyniemy założenie indukcyjne; zakładamy, że jeśli \(\displaystyle{ a_k >0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,..., n}\) oraz \(\displaystyle{ a _{1} \cdot a _{2} \cdot ... \cdot a _{n}=1}\), to \(\displaystyle{ a_1 +...+a_n \ge n}\). Spróbuj udowodnić, że teza zachodzi dla \(\displaystyle{ n+1}\) liczb spełniających odpowiednie założenia.

Ta nierówność to trochę inaczej zapisana nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Można się o tym przekonać kładąc \(\displaystyle{ a_i= \frac{x_i}{ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} }}\) wtedy warunki są spełnione a nierówność przybiera znaną postać

\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2+...+x_n}{\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}} \ge n}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}}\)

Dowody (bo aż kilka) indukcyjne tych nierówności znajdziesz