Mój problem polega na tym, żeby poniższą równość udowodnić indukcyjnie:
\(\displaystyle{ 2^n = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}}\)
Doszłam do udowodnienia tego i zacięłam się, dowód poniższej równości mi nie wychodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n+1} {n+1 \choose i} - \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = \sum_{i=1}^{n} {n \choose i}}\)
Może jakoś inaczej???? Jakieś podpowiedzi?
Dowód indukcyjny mocy zbioru potęgowego
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Dowód indukcyjny mocy zbioru potęgowego
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=0}^{n+1} {n+1 \choose i} = {n+1 \choose 0} +\left[ \sum_{i=1}^{n} {n +1\choose i} \right] +{n+1 \choose n+1} =\\=1+ \sum_{i=1}^{n} \left( {n \choose i-1} + {n \choose i \right) +1
= {n \choose n} + \sum_{i=1}^{n}{n \choose i-1}+ \sum_{i=1}^{n}{n \choose i}+ {n \choose 0} =\\
= \sum_{i=1}^{n+1}{n \choose i-1}+ \sum_{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}+2^{n}=2^{n+1}=L}\)
= {n \choose n} + \sum_{i=1}^{n}{n \choose i-1}+ \sum_{i=1}^{n}{n \choose i}+ {n \choose 0} =\\
= \sum_{i=1}^{n+1}{n \choose i-1}+ \sum_{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}+2^{n}=2^{n+1}=L}\)