Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n=1 x_1+x_2+\ldots+x_n\geq n}\)

bede wdzieczny za cokolwiek bo sam nie mam pojecia jak sie do tego zabrac
ale podobno jakos indukcja sie da



pozdro

Z tego, co przeczytałem wyżej nie musi to być indukcyjny dowód, więc:

Korzystając z nierówności miedzy średnią arytmetyczną a geometryczną dostajemy:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots + x_n\geq n\cdot \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}=n\cdot 1 = n}\), co kończy dowód.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Dla n=2 trywialne. Teraz zakładamy, że dla dowolnych n-wyrazowych ciągów liczb dodatnich o iloczynie 1 nierówność zachodzi. Bierzemy n+1 liczb \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}}\). Jeśli wszystkie są jedynkami, nierówność zachodzi. Jeśli nie, to istnieje wśród tych liczb co najmniej jedna większa niż 1 i jedna mniejsza niż 1. Bez straty ogólności zakładamy, że \(\displaystyle{ x_1>1}\) i \(\displaystyle{ x_2n+1}\).