Matematyka.pl

Nie do końca radzę sobie z nierównościami w indukcji, chciałabym tylko żeby ktoś zerknął czy dobrze rozumuje i czy zadanie jest prawidłowo rozwiązane

Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+n \cdot 3 ^{n-1} \ge \frac{2n-1}{4} \cdot 3 ^{n}}\)

no to krok 1 sprawdzam czy moje \(\displaystyle{ T(n)}\) działa dla \(\displaystyle{ n=1}\) i działa(pozwolicie,że pominę to działanie tutaj)
2) Jeżeli \(\displaystyle{ T(n)}\) działa, to działa też dla \(\displaystyle{ T(n+1), T(n) \Rightarrow T(n+1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{2n-1}{4} \cdot 3 ^{n}+(n+1) \cdot 3 ^{n} \ge \frac{2(n+1)-1}{4} \cdot 3^{n+1} \\
3 ^{n}( \frac{2n-1+4n+4}{4}) \ge 3^{n} \cdot 3 \cdot \frac{2n+2-1}{4} / :3 ^{n} \\
\frac{6n+3}{4} \ge \frac{6n+3}{4}}\)
3) na mocy ind. mat ...
no i wychodzi, że są równe, co generalnie jest prawdą, bo znak dopuszcza równość, ale jak już wspomniałam, nierówności to jest coś w czym się jeszcze gubię i zastanawiam się,czy wszystkie założenia są dobre oraz moje obliczenia są poprawnie sformułowane

Twoje założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ 1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+n \cdot 3 ^{n-1} \ge \frac{2n-1}{4} \cdot 3 ^{n}}\)

Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ 1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+(n+1) \cdot 3 ^{n} \ge \frac{2n+1}{4} \cdot 3 ^{n+1}}\)

Posługując się założeniem indukcyjnym, należy udowodnić tezę. Jeśli chodzi o nierówności i indukcję, to zwykle trzeba przekształcić jakoś nierówność będącą założeniem indukcyjnym. W naszym przykładzie dodamy obustronnie ostatni składnik sumy z tezy czyli \(\displaystyle{ (n+1) \cdot 3^{n}}\)

-- 26 lut 2017, o 15:38 --

Po prawej stronie nierówności otrzymamy wtedy: \(\displaystyle{ \frac{2n-1}{4} \cdot 3^{n}+(n+1) \cdot 3^{n} = \frac{6n+3}{4} \cdot 3^{n}= \frac{2n+1}{4} \cdot 3^{n+1}}\)

czyli mamy nierówność \(\displaystyle{ 1+2 \cdot 3+3 \cdot 3 ^{2}+4 \cdot 3 ^{3}+...+(n+1) \cdot 3 ^{n} \ge \frac{2n+1}{4} \cdot 3^{n+1}}\) a to jest już nasza teza.

od czego zależy, co muszę dodać przy nierównościach? bo chyba właśnie z tym mam największy problem.
edit;
dobra, rozgryzłam dziękuje!