Matematyka.pl

Cześć, mamy następującą nierówność:
\(\displaystyle{ 30 \cdot n < 2 ^{n} + 105}\)

Można dość łatwo sprawdzić, że rozwiązaniami są liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,4\}}\), ale w tym zadaniu chyba chodziło o wykazanie tego sposobem indukcyjnym.
Mam coś takiego tylko wydaje mi się, że w ostatniej linii powinien być znak większości, bo szukamy \(\displaystyle{ n}\), które spełniają tezę? Proszę o pomoc i ew. wskazanie błędu.

\(\displaystyle{ Z: 30 \cdot n < 2^{n} + 105}\)

\(\displaystyle{ T: 30 \cdot (n+1) < 2^{n+1} + 105}\)

\(\displaystyle{ 30 \cdot n+30 < 2^{n} \cdot 2 + 105}\)

\(\displaystyle{ 30 \cdot n + 135 < 2^{n} \cdot 2 + 210}\)

\(\displaystyle{ 30 \cdot n + 135 < 2^{n} +105 + 2^n + 105}\)

\(\displaystyle{ 135 < 2^{n} + 105}\)

\(\displaystyle{ 30 < 2^{n}}\)

Jeśli znasz rachunek różniczkowy, to polecam to zrobić przy pomocy wyznaczenia ekstremum odpowiedniej funkcji.

Tak się składa, że znam to zadanie, dlatego chciałbym się dowiedzieć, jakie miałeś do niego polecenie.

JK

PiotrowskiW pisze:Jeśli znasz rachunek różniczkowy, to polecam to zrobić przy pomocy wyznaczenia ekstremum odpowiedniej funkcji.

Niestety nie znam, analiza zaczyna się u mnie w przyszłym semestrze (jestem na informatyce).

Jan Kraszewski pisze:Tak się składa, że znam to zadanie, dlatego chciałbym się dowiedzieć, jakie miałeś do niego polecenie.

JK

Było to zadanie z zeszłorocznego egzaminu ze Wstępu do teorii mnogości na UJ. Pełna treść brzmi tak:
Dla jakich liczb naturalnych n = 0,1,2,... zachodzi następująca nierówność
\(\displaystyle{ 30 \cdot n < 2^{n} + 105.}\)
Odpowiedź uzasadnić.

No to można tutaj wykorzystać indukcję matematyczną, ale trzeba wykazać się przy tym jej zrozumieniem.

JK

Jan Kraszewski pisze:No to można tutaj wykorzystać indukcję matematyczną, ale trzeba wykazać się przy tym jej zrozumieniem.

JK

Czy chodzi o to, że \(\displaystyle{ 30 < 2^{n}}\) udowadniałoby, iż nierówność zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych, zaczynając dopiero od \(\displaystyle{ 5}\)? Wobec tego, jako że tak nie jest, naszym rozwiązaniem są liczby naturalne \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,4\}}\)?

A próbowałes to policzyć np dla \(\displaystyle{ n=8}\)?

jikas pisze:Czy chodzi o to, że \(\displaystyle{ 30 < 2^{n}}\) udowadniałoby, iż nierówność zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych, zaczynając dopiero od \(\displaystyle{ 5}\)? Wobec tego, jako że tak nie jest, naszym rozwiązaniem są liczby naturalne \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,4\}}\)?

To stwierdzenie sugeruje, że niezbyt rozumiesz indukcję matematyczną. W swoim pierwszym poście dużo rachowałeś, coś wyszło, ale nie bardzo rozumiesz co.

JK