Matematyka.pl

Udowodnij korzystając z indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1} > 1}\)
Czy mogę tutaj nierówność zamienić na postać \(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1} = 1 + a, a \in (0,+ \infty )}\) i dalej przeprowadzić dowód?
Wtedy powyższa linijka jest założeniem, a \(\displaystyle{ \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1}+\frac{1}{3n + 2}+\frac{1}{3n + 3}+\frac{1}{3n + 4} = 1 + b, b \in (0,+ \infty )}\) tezą.
Teraz sprawdzam czy równość zachodzi dla n = 1(P), a następnie z założenia biorę \(\displaystyle{ a + 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{3n + 1}}\), zamieniam ten fragment z odpowiednim w tezie i otrzymuję :
\(\displaystyle{ a + 1 + \frac{1}{3n + 2}+\frac{1}{3n + 3}+\frac{1}{3n + 4} - \frac{1}{n + 1} = b + 1}\), z czego wynika, że b >0, czyli dowód został przeprowadzony?

Pomijając już wątpliwą strukturę tego dowodu, to jak wynika, że \(\displaystyle{ b>0}\)?

JK

Jak sprowadzę ilorazy z ostatniej linijki do wspólnego mianownika to otrzymuję wartość większą od \(\displaystyle{ 0}\), a co do \(\displaystyle{ a}\) - to z założenia jest większe od \(\displaystyle{ 0}\). Czyli taki dowód nie przejdzie?

Jak to zrobisz i pokażesz, to może przejdzie.

JK

Jak sprowadzę ilorazy z ostatniej linijki do wspólnego mianownika to otrzymuję wartość większą od \(\displaystyle{ 0}\)

To jest własnie kluczowy element kroku indukcyjnego i to należałoby zrobić. Potrzebna nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}>\frac{1}{n+1}}\)
dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) wynika też bezpośrednio z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla trzech składników.