Matematyka.pl

Należy wykazać, że zachodzi ponizsza tozsamość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{[\frac{n}{3}]} {n\choose 3k} = \frac{1}{3} (2^{n}+ 2\cos (\frac{n\pi}{3}))}\)

Fajne....
znasz liczby zespolone? Przy ich pomocy łatwo to wykazać...
Jak oznaczysz sobie \(\displaystyle{ \varepsilon = \cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}}\), czyli jeden z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki, to lewą stronę tożsamości możesz przedtawić jako
\(\displaystyle{ \mbox{L} \ = \ {\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{3}]}} {n\choose 3k}\cdot 1^{3k} \ = \ {\sum\limits_{k=0}^{n}} {n\choose k}\cdot\frac{\big( 1^{k}+\varepsilon^k+{\bar{\varepsilon}}^k\big)}{3} \ = \ \frac{1}{3}\big( (1+1)^n + (1+\varepsilon)^n + (1+\bar{\varepsilon})^n \big) \ = \ \frac{1}{3}\big( 2^n + 2 \mbox{Re}(1+\varepsilon)^n \big)}\)
Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 1+\varepsilon \ = \ \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3} \ = \ \gamma}\) skąd dostajesz \(\displaystyle{ \mbox{Re}(1+\varepsilon)^n \ = \ \mbox{Re}\gamma^n \ = \ \cos\frac{n\pi}{3}}\)

... i chwacit...

Eleganckie rozwiązanie, Brawo, Można też dowodzić tego indukcyjnie, co jest nieco żmudne,....,,no ale możliwe, w uzupełnieniu tu jeszcze podaję wzory:w tym drugim zakładamy,sobie dodatkowo że n>1
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{[\frac{n}{3}]} {n\choose 3k+1} = \frac{1}{3} (2^{n}+ 2\cos (\frac{(n-2)\pi}{3}))}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{[\frac{n}{3}]} {n\choose 3k+2} = \frac{1}{3} (2^{n}+ 2\cos (\frac{(n-4)\pi}{3}))}\)