Matematyka.pl

Mam problem z trzema zadankami z indukcji matematycznej:
1. Udowodnic \(\displaystyle{ \forall_{n\in{N}}\bigsum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}}\)
Gdy udowadniam prawdziwosc twierdzenia dla n+1 wtedy otrzymuje ze: \(\displaystyle{ \bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\frac{1}{2(n+1)(2n+1)}}\). C o nalezy dalej zrobic?
2. \(\displaystyle{ \forall_{x\in{R}}\forall_{n\in{N}}|sinnx|\leq n|sinx|}\) za to wogole nie wiem jak sie zabrac
3. Korzystajac z zasady indukcji odowodnic ze liczba \(\displaystyle{ 2^{6n+1}+9^{n+1}}\) jest podzielna przez 11. Gdy dla n+1 zapisze to jako rownanie nie mam pojecia jak rozpisac skladniki z lewej strony zeby bylo widac ta podzielnosc

3. Dla n=1 pasuje. Zakładamy, że \(\displaystyle{ 2^{6n+1}+9^{n+1}}\) jest podzielne przez 11 dla pewnego n.

\(\displaystyle{ 2^{6(n+1)+1}+9^{(n+1)+1}=2^{6n+7}+9^{n+2}=64\cdot(2^{6n+1}+9^{n+1})-64\cdot9^{n+1}+9\cdot9^{n+1}=64\cdot(2^{6n+1}+9^{n+1})-55\cdot9^{n+1}}\)
A to ostatnie jest podzielnie przez 11.

2.
\(\displaystyle{ |sin(n+1)x|=|sin(nx+x)|=|sin(nx)cos(x)+sin(x)cos(nx)|\leq|sin(nx)cos(x)|+|sin(x)cos(nx)|\leq |nsin(x)cos(x)|+|sin(x)cos(nx)|=}\)
\(\displaystyle{ =|sin(x)|(|n\cdot cos(x)|+|cos(nx)|)\leq(n+1)|sin(x)|}\)
Pierwsza nierówność to \(\displaystyle{ |a+b| q |a|+|b|}\), druga założenie indukcyjne, a trzecia wynika z tego, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in{R}}\ |cos(x)|\leq 1}\)

\(\displaystyle{ \bigsum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}=\bigsum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k})}\) (to mam stad, ze jak k jest nieparzyste to biore z plusem, a jak nie to z minusem).
Jak tego uzyjesz, to po dodatniu do obu stron tozsamosci ktora trzeba pokazac \(\displaystyle{ \bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}\), bedzie:
\(\displaystyle{ \bigsum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}+\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}\),
\(\displaystyle{ \bigsum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}+\bigsum_{k=1}^{n}\frac{2}{2k}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}\),
\(\displaystyle{ \bigsum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k})+2\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}+\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}\)
\(\displaystyle{ \bigsum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k-1})=\bigsum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k})+\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}\),
\(\displaystyle{ 2\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k}=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}\), czyli prawda.

filip: moglbys bardziej szczegolowo wyjasnic swoje rozumowanie?