mam znaleśc granice tagkiej granicy:)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0+}(ctg2x)^\frac{1}{lnx}}\)
prosze o wytłumaczenie
znaleść granicę
-
spajder
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 7 lis 2005, o 23:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 133 razy
znaleść granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{lnx}}=\lim_{x\to 0^+}exp\left(\frac{\cot{2x}}{lnx}\right)=exp\lim_{x\to0^+ }\frac{\cot{2x}}{lnx}=^Hexp\lim_{x\to 0^+}\frac{-\frac{1}{\sin^2{x}}}{\frac{1}{x}}=exp\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{\sin{x}}\cdot \frac{-1}{\sin{x}}=exp\left\|1\cdot \frac{(-1)}{0^+}\right\|=0}\)
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
znaleść granicę
\(\displaystyle{ \cot}\) to cotangens
spajder zjadłeś logarytm...
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{\ln x}}=\lim_{x\to 0^+}\mbox{exp}\left(\frac{\ln\cot{2x}}{\ln x}\right)= \mbox{exp}\left(\lim_{x\to0^+ }\frac{\ln\cot{2x}}{\ln x}\right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}\frac{\ln \cot 2x}{\ln x} = ^{\mathbf{H}} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x}{-\sin^{2} 2x \cot 2x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x}{-\sin 2x \cos 2x} = -1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{-1}}\)
spajder zjadłeś logarytm...
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{\ln x}}=\lim_{x\to 0^+}\mbox{exp}\left(\frac{\ln\cot{2x}}{\ln x}\right)= \mbox{exp}\left(\lim_{x\to0^+ }\frac{\ln\cot{2x}}{\ln x}\right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}\frac{\ln \cot 2x}{\ln x} = ^{\mathbf{H}} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x}{-\sin^{2} 2x \cot 2x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{2x}{-\sin 2x \cos 2x} = -1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}\left(\cot{2x}\right)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{-1}}\)