Matematyka.pl

Otóż mam zadanie:
zbadać czy istnieje granica funkcji:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }\sin ^{2} \frac{1}{x ^{2} }}\)
Jaki jest błąd w moim rozumowaniu:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }\sin ^{2} \frac{1}{x ^{2} }=\lim_{ x\to0 }\sin \frac{1}{x ^{2} } \cdot \sin \frac{1}{x ^{2} }=
\lim_{ x\to0 } \frac{\sin \frac{1}{x ^{2} } \cdot \sin \frac{1}{x ^{2} } \cdot \frac{1}{x ^{2} } \cdot \frac{1}{x ^{2} }}{\frac{1}{x ^{2} } \cdot \frac{1}{x ^{2} } } }=
=1 \cdot 1 \cdot \lim_{ x\to0 }\frac{1}{x ^{4} }}\)
I tutaj zarówno granica lewo jak i prawostronna jest równa \(\displaystyle{ \infty}\) Dlaczego, więc wg odpowiedzi funkcja ta nie ma granicy.


Z góry dziękuje za odpowiedź

A jaka jest granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \sin x}\)?

Poza tym nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=1}\).

Prawdziwy jest wzór \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1}\). Tymczasem w Twoim przypadku jest \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ne 0}\).