Matematyka.pl

Wyznaczyć granicę funkcji NIE korzystając z reguły de'lHospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+4x+6}+x }\)

Jak to zrobić? Próbowałem korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\), ale nie wychodzi. Najlepiej jakby rozwiązanie nie korzystało z rozwinięć pierwiastka w szereg, chyba, że się nie da inaczej.

max123321 pisze: 3 lis 2021, o 00:56Próbowałem korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\), ale nie wychodzi.

Wychodzi, tylko musisz uważać "wchodząc" z \(\displaystyle{ x}\) pod pierwiastek, bo to liczba ujemna.

JK

Nie bardzo rozumiem. Piszę tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+4x+6}+x= \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+4x+6-x^2}{\sqrt{x^2+4x+6}-x}=\lim_{x \to -\infty} \frac{4x+6}{\sqrt{x^2+4x+6}-x} }\)
No i co dalej?

Dodano po 25 minutach 15 sekundach:
Ach już chyba wiem:
\(\displaystyle{ =\lim_{x \to -\infty} \frac{4x+6}{\sqrt{x^2+4x+6}-x}=\lim_{x \to -\infty} \frac{x(4+ \frac{6}{x}) }{\left| x\right| \sqrt{1+ \frac{4}{x} + \frac{6}{x^2} }-x}=}\) i teraz opuszczamy moduł, skoro \(\displaystyle{ x}\) dąży do minus nieskończoności to musi być na minusie więc:
\(\displaystyle{ =\lim_{x \to -\infty} \frac{x(4+ \frac{6}{x}) }{-x \sqrt{1+ \frac{4}{x} + \frac{6}{x^2} }-x}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x \to -\infty} \frac{(4+ \frac{6}{x}) }{- \sqrt{1+ \frac{4}{x} + \frac{6}{x^2} }-1}}\) i teraz licznik dąży do \(\displaystyle{ 4}\), a mianownik do \(\displaystyle{ -1-1=-2}\) czyli całość dąży do \(\displaystyle{ 4/(-2)=-2}\)
Dobrze to rozpisałem?

Tak.

JK