Matematyka.pl

Zadanie jest następujące:

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{\tg(xy)}{y}}\)

Podobno nie można dzielić przez x a nastepnie mnozyc wg prowadzącego ćwiczenia, bo (x,y)=(0,0) jest punktem skupienia. Nie mam pojęcia czemu w związku z tym nie można.

white_chocolate pisze:Podobno nie można dzielić przez x a nastepnie mnozyc

jaki jest cel wykonania takiego działania?

rzeczywiście dobry skutek wywołuje pomnożenie przez \(\displaystyle{ \frac{x}{x}}\) wyrażenie badane:

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \left[ \frac{\tg(xy)}{y} \cdot \frac{x}{x}\right] = \lim_{ (x,y)\to (0,0)} x \cdot \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{\tg(xy)}{xy} = 0 \cdot \lim_{ t\to 0} \frac{\tg t}{t} = 0 \cdot 1 = 0}\)

joe74 pisze:rzeczywiście dobry skutek wywołuje pomnożenie przez \(\displaystyle{ \frac{x}{x}}\) wyrażenie badane:

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \left[ \frac{\tg(xy)}{y} \cdot \frac{x}{x}\right] = \lim_{ (x,y)\to (0,0)} x \cdot \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{\tg(xy)}{xy} = 0 \cdot \lim_{ t\to 0} \frac{\tgt}{t} = 0 \cdot 1 = 0}\)

No tak, tylko właśnie u mnie prowadzący ćw. twierdzi, że nie można tak zrobić bo punktem skupienia jest (x,y)=(0,0) i nie można podzielić przez x bo w jego otoczeniu jest punkt 0... nie rozumiem tego.
Zresztą, czemu nie można stosować tej reguły l'Hospitala, bo ja nie rozumiem Nie można policzyć sobie pochodnej czastkowej po r? W sumie wyjdzie 0 ale podobno to nie wykorzystuje wszystkich dróg dojscia do punktu skupienia, staram się to zrozumieć ale chyba mi nie idzie ;p

Regułę de l'Hospitala można wykorzystać np. w wyrażeniu \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0 } \frac{\tg t}{t}}\), nie ma odpowiednika tej reguły dla granic funkcji wielu zmiennych.

Wiem, że można ją wykorzystać dla granic 1 zmiennej, tylko nie rozumiem, czemu nie można jej wykorzystać gdy licze granicę przy \(\displaystyle{ r\to0}\) (kąt nie jest określony), po zamianie na współrzędne biegunowe. Ale chyba tego nie zrozumiem, więc uznam to za zasadę, że nie można

white_chocolate pisze:No tak, tylko właśnie u mnie prowadzący ćw. twierdzi, że nie można tak zrobić bo punktem skupienia jest (x,y)=(0,0) i nie można podzielić przez x bo w jego otoczeniu jest punkt 0... nie rozumiem tego.

Nie ma przeszkód by tak zrobić - jest to standardowe postępowanie w przypadku obliczania takich granic. Niemniej jednak chętnie zapoznałbym się z pełną argumentacją prowadzącego, bo Twoja relacja może nie być dokładna.

white_chocolate pisze:Zresztą, czemu nie można stosować tej reguły l'Hospitala, bo ja nie rozumiem Nie można policzyć sobie pochodnej czastkowej po r? W sumie wyjdzie 0 ale podobno to nie wykorzystuje wszystkich dróg dojscia do punktu skupienia, staram się to zrozumieć ale chyba mi nie idzie ;p

na przykład droga \(\displaystyle{ x(t)=t,\ y(t)=t^2}\) - kąt \(\displaystyle{ \phi}\) nie jest wtedy ustalony, zatem nie wszystkie drogi są wykorzystane.

Na pewno chodziło o ten punkt skupienia, ponieważ podał nam również trochę inny przykład gdzie x->3 (reszta taka sama) i uznał, że tam można stosować takie pomnożenie i podzielenie, bo w otoczeniu punktu 3 nie ma 0... mogłam coś pominąć, ale myśle, że głównie o to chodziło.

Ogólnie powiedział, że jedynym sposobem rozwiązania tego przykładu są jakieś ciągi, podciągi, zajęło to z 4 tablice...

white_chocolate pisze:Na pewno chodziło o ten punkt skupienia, ponieważ podał nam również trochę inny przykład gdzie x->3 (reszta taka sama) i uznał, że tam można stosować takie pomnożenie i podzielenie, bo w otoczeniu punktu 3 nie ma 0... mogłam coś pominąć, ale myśle, że głównie o to chodziło.

powyższa argumentacja mnie nie przekonuje

white_chocolate pisze:Ogólnie powiedział, że jedynym sposobem rozwiązania tego przykładu są jakieś ciągi, podciągi, zajęło to z 4 tablice...

w moim mniemaniu sposób z ciągami z pewnością nie zajmuje czterech tablic; przedstaw proszę tę metodę rozwiązania

Razem z dokładnym opisem zajmuje.
Nie znam tego sposobu, bo go nie przepisałam do zeszytu. Zastanawiałam się nad tym, dlaczego nie można zastosować reguły l'Hospitala, jak go od kogoś przepiszę to umieszczę, ale to było bardzo długie.

white_chocolate pisze:Razem z dokładnym opisem zajmuje.

jeśli uwzględni się dokładny opis to rzeczywiście taka możliwość istnieje

white_chocolate pisze:Nie znam tego sposobu, bo go nie przepisałam do zeszytu. Zastanawiałam się nad tym, dlaczego nie można zastosować reguły l'Hospitala, jak go od kogoś przepiszę to umieszczę, ale to było bardzo długie.

powiedziałem już dlaczego nie można - nie uwzględniasz w tej sposób wszystkich możliwości zbliżania się do danego punktu; zbliżasz się jedynie po liniach prostych

Chromosom pisze: powiedziałem już dlaczego nie można - nie uwzględniasz w tej sposób wszystkich możliwości zbliżania się do danego punktu; zbliżasz się jedynie po liniach prostych

Ok, być może rzeczywiście wtedy zbliżam się do punktu tylko po liniach prostych, tylko nie wiem jak do tego dojść i to wydedukować, nie umiem tego sobie chyba wyobrazić

white_chocolate pisze:Ok, być może rzeczywiście wtedy zbliżam się do punktu tylko po liniach prostych, tylko nie wiem jak do tego dojść i to wydedukować, nie umiem tego sobie chyba wyobrazić

jak wygląda prosta w układzie współrzędnych biegunowych?

A jak wygląda układ współrzędnych biegunowych?

Równanie prostej we współrzędnych biegunowych no to wydaje mi sie, że np. r=4a itp. gdzie kąt jest stały. Tzn. prosta nachylona do osi OX o jakis stały kąt.

joe74 pisze:rzeczywiście dobry skutek wywołuje pomnożenie przez \(\displaystyle{ \frac{x}{x}}\) wyrażenie badane:

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \left[ \frac{\tg(xy)}{y} \cdot \frac{x}{x}\right] = \lim_{ (x,y)\to (0,0)} x \cdot \lim_{ (x,y)\to (0,0)} \frac{\tg(xy)}{xy} = 0 \cdot \lim_{ t\to 0} \frac{\tg t}{t} = 0 \cdot 1 = 0}\)

To rozwiązanie jest prawie dobre, ale nie uwzględnia przypadku \(\displaystyle{ x=0}\). W celu poprawienia tego rozwiązania należy dziedzinę funkcji podzielić na dwie części.