Styczna do wykresu.

xdominika · Post autor: **xdominika** » 2 lut 2020, o 09:55

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ y=x^{3}+7x+2 }\) Znaleźć styczną do wykresu funkcji odwrotnej w punkcie, w którym argument funkcji odwrotnej jest równy 4. Znam twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej, ale nie wiem czy akurat to trzeba tutaj zastosować.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 lut 2020, o 11:13

Możesz po prostu rozwiązać równanie że wzlatuje na `x`. Dostaniesz dwie gałęzie funkcji odwrotnej

Gosda · Post autor: **Gosda** » 2 lut 2020, o 12:04

Myślę, że to dość nieprzyjemne zadanie, ponieważ wielomian jest trzeciego stopnia. Poza tym gałąź będzie jedna, ponieważ funkcja \(\displaystyle{ y(x)}\) jest rosnąca, ponieważ \(\displaystyle{ y'(x) = 3x^2 + 7 > 0}\). Lepiej jednak z twierdzenia o funkcji odwrotnej.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 2 lut 2020, o 14:30

Oops, widziałem tam funkcję kwadratową

xdominika · Post autor: **xdominika** » 2 lut 2020, o 18:34

Gosda pisze: 2 lut 2020, o 12:04 Myślę, że to dość nieprzyjemne zadanie, ponieważ wielomian jest trzeciego stopnia. Poza tym gałąź będzie jedna, ponieważ funkcja \(\displaystyle{ y(x)}\) jest rosnąca, ponieważ \(\displaystyle{ y'(x) = 3x^2 + 7 > 0}\). Lepiej jednak z twierdzenia o funkcji odwrotnej.

A jak powinnam to dokładnie zrobić? Jeżeli 4 jest argumentem dla funkcji odwrotnej, to staje się wartością dla funkcji wyjściowej? W taki sposób mi nie wychodzi.

Gosda · Post autor: **Gosda** » 3 lut 2020, o 00:06

Możesz tak: najpierw znajdź styczną do wykresu zwykłej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (x_0, 4)}\). Do tego potrzebne jest \(\displaystyle{ x_0}\):

\(\displaystyle{ x_0^3 + 7x_0 + 2 = 4}\)

\(\displaystyle{ x_0^3 + 7x_0 - 2 = 0}\)

Korzystamy z gotowych wzorów na pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia.

\(\displaystyle{ x_0 = \sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{1110}}{9}} - \frac{7} {\sqrt[3]{3 (9 + \sqrt{1110})}}}\)

I mamy wzór na styczną:

\(\displaystyle{ y = 4 + (3x_0^2 + 7) (x - x_0)}\)

Obrzydliwe, ale Wolfram twierdzi, że jest okej (

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=tangent+line+to+x%5E3+%2B+7x+%2B+2+at+x+%3D+%289+%2B+sqrt%281110%29%29%5E%281%2F3%29%2F3%5E%282%2F3%29+-+7%2F%283+%289+%2B+sqrt%281110%29%29%29%5E%281%2F3%29

). I teraz z tego równania można wyznaczyć zależność \(\displaystyle{ x(y)}\).

Może źle przepisane zadanie?

xdominika · Post autor: **xdominika** » 3 lut 2020, o 14:49

Gosda pisze: 3 lut 2020, o 00:06 Możesz tak: najpierw znajdź styczną do wykresu zwykłej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (x_0, 4)}\). Do tego potrzebne jest \(\displaystyle{ x_0}\):

\(\displaystyle{ x_0^3 + 7x_0 + 2 = 4}\)

\(\displaystyle{ x_0^3 + 7x_0 - 2 = 0}\)

Korzystamy z gotowych wzorów na pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia.

\(\displaystyle{ x_0 = \sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{1110}}{9}} - \frac{7} {\sqrt[3]{3 (9 + \sqrt{1110})}}}\)

I mamy wzór na styczną:

\(\displaystyle{ y = 4 + (3x_0^2 + 7) (x - x_0)}\)

Obrzydliwe, ale Wolfram twierdzi, że jest okej (
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=tangent+line+to+x%5E3+%2B+7x+%2B+2+at+x+%3D+%289+%2B+sqrt%281110%29%29%5E%281%2F3%29%2F3%5E%282%2F3%29+-+7%2F%283+%289+%2B+sqrt%281110%29%29%29%5E%281%2F3%29
). I teraz z tego równania można wyznaczyć zależność \(\displaystyle{ x(y)}\).

Może źle przepisane zadanie?

Sprawdziłam jeszcze raz czy dobrze przepisałam i jest ok, może jakiś błąd w zadaniu, bo rzeczywiście niezbyt ciekawe liczby. Bardzo dziękuję za odpowiedź.

Matematyka.pl

Styczna do wykresu.

Styczna do wykresu.

Re: Styczna do wykresu.

Re: Styczna do wykresu.

Re: Styczna do wykresu.

Re: Styczna do wykresu.

Re: Styczna do wykresu.

Re: Styczna do wykresu.