przedłużanie funkcji w sposób ciągły
-
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 24 wrz 2011, o 16:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 78 razy
- Pomógł: 10 razy
przedłużanie funkcji w sposób ciągły
Od czego zależy możliwość przedłużania funkcji w sposób ciągły? W zbiorze zadań napisano, że funkcję \(\displaystyle{ e ^{x}}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) można przedłużyć w sposób ciągły do \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) ale funkcji \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{1}{x} \right)}\) już nie. Nie rozumiem dlaczego.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
przedłużanie funkcji w sposób ciągły
Można przedłużać w sposób ciągły na koniec przedziału, gdy istnieją granice jednostronne
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)}\)
i wtedy przyjąć za wartości wyliczone granice.
Łatwo sprawdzić, że
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^+} \sin \frac{1}{x}}\)
nie istnieje, więc nie ma ciągłego przedłużenia na przedział domknięty.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 1^-} f(x)}\)
i wtedy przyjąć za wartości wyliczone granice.
Łatwo sprawdzić, że
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^+} \sin \frac{1}{x}}\)
nie istnieje, więc nie ma ciągłego przedłużenia na przedział domknięty.