Matematyka.pl

Witam,
bardzo prosze o pomoc w policzeniu następującej granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}-e}{x}}\)

Zapiszmy
\(\displaystyle{ (1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}}\)
i skorzystajmy z reguły de l'Hospitala. Zostaje do obliczenia taka oto granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^{2}} \right) \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}}\)
a tutaj sprawę załatwia wzór Taylora z resztą w postaci Peana:
\(\displaystyle{ \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right)}\)

Tak trochę po znajomości spytam, który to przykład?

Dodano po 11 minutach 13 sekundach:
Bo z tego co widzę po przykładach od ciebie, to ten sam wydział.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} }\)

Rozwijając funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}} }\) w szereg Maclaurina

\(\displaystyle{ f(x) = \left(1 + x \right)^{\frac{1}{x}} = e -\frac{1}{2}e x + O\left(x^2\right), }\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e -\frac{1}{2}ex +O(x^2) - e}{x} = -\frac{1}{2}e. }\)

Klaing pisze: 30 sty 2020, o 21:16 Tak trochę po znajomości spytam, który to przykład?

Dodano po 11 minutach 13 sekundach:
Bo z tego co widzę po przykładach od ciebie, to ten sam wydział.

To był fragment zadania z dodefiniowaniem funkcji z drugiego kolokwium, bez tego nie dało się sprawdzić różniczkowalności;)