Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{|xy|^p}{x^2+y^2}}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła \(\displaystyle{ \Leftrightarrow p>1}\).

Jak to zrobić?

Polecenie powinno raczej brzmieć tak:
Pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) można przedłużyć do funkcji ciągłej na \(\displaystyle{ \RR^2}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p>1}\).

Dla \(\displaystyle{ p\le 1}\) łatwo wskazać dwa ciągi \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n},0\right), \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)}\) zbieżne do \(\displaystyle{ (0,0)}\) ale takie, że ciągi \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{n},0\right), f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)}\) nie zbiegają do tej samej wartości.

Dla \(\displaystyle{ p>1}\) skorzystaj z definicji granicy funkcji w sensie Cauchy'ego.

Dalej nie wiem jak zrobić dla \(\displaystyle{ p>1}\). Próbowałam to jakoś ograniczać, ale mi się nie udaje.

Dla \(\displaystyle{ p>1}\) prościej skorzystać z szacowania:
\(\displaystyle{ x^2+y^2\ge 2|xy|}\)
skąd:
\(\displaystyle{ \frac{|xy|^p}{x^2+y^2}\le\frac{|xy|^p}{2|xy|}=\frac 12 |xy|^{p-1}}\)
i wystarczy twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach).

Q.