Matematyka.pl

Może ktoś rzecic pomocną uwagą? nie wiem jak sie do tego zabrac
\(\displaystyle{ 1) \lim_{x\to 1} (1-x)\cdot tg \frac{\pi x}{2}\\ 2) \lim_{x\to 0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}\\ 3) \lim_{x\to 0} x^{sin x}\\ 4) \lim_{x\to 0} (\frac{1}{x})^{tg x}}\)
Nie chodzi mi tu bynajmniej o wynik lecz o sposób rozwiązania-jakieś wskazówki-co trzeba zauważyc itp

Poczytaj sobie o metodzie de'l Hospitala. Nic nie trzeba zauważać wtedy

Ale w trzecim i czwartym przykładzie twierdzenie Johanna Bernoulliego (znane jako reguła de L'Hospitala) da efekt wręcz odwrotny do zamierzonego. Trzeba przekształcać albo takie trzecie może poszłoby wprost z definicji Heinego...

hmmm: w sumie z programu wynika że de'l Hospitala będziemy miec dopiero za wykład-z racji samouctwa mogę zrobic jakieś błędy-ale czy dobrze rozumiem?:
\(\displaystyle{ 1) \lim_{x\to 0} \frac{1-cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{sin x}{2x}=\frac{1}{2}\\ 2) \lim_{x\to 1} \frac{1-x}{ctg \frac{\pi x}{2}}=\lim_{x\to 1} \frac{-1}{\frac{-1}{sin^{2} \frac{\pi x}{2}}\cdot \frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}}\)
nie wiem w jaki sposób to sprawdzic-tamte dwa przykłady zaraz spróbuje jakoś ugryźc

Twój pierwszy przykład nie zgadza się z wyjściowym (czyli drugim). Pominąłeś pierwiastek. Granica powinna wyjsć \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).

3) Zamień \(\displaystyle{ x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot \ln x}}\). Wejdź z granicą do wykładnika, przedstaw \(\displaystyle{ \sin x\cdot \ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}}\), wtedy policz pochodne i skorzystaj z tw. o granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\). Wynik końcowy to \(\displaystyle{ 1}\).

4) Analogicznie: \(\displaystyle{ \(\frac{1}{x}\)^{\tan x}=e^{\tan x\cdot\ln\frac{1}{x}}}\). Dalej \(\displaystyle{ \tan x\cdot\ln\frac{1}{x}=\frac{\ln\frac{1}{x}}{\cot x}}\), pochodne itd.. Wynik końcowy również \(\displaystyle{ 1}\).

ap, faktycznie-pominąłem ten pierwiastek w pierwszym-ale chodziło mi o tok myślenia-dzięki
pozostałe przykłady też już skumałem-wielkie podziekowania:)