Matematyka.pl

Witam! Mam obliczyć granicę takich funkcji korzystając z tw. de'l' Hospitala:

- \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x^{5} \cdot e^{-2x}}\)
- \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}}\)
- \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{arcsin^{2}x}{x^{2}}}\)
- \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}}\)
- \(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi} \frac{e^{\pi-x}-e^{sinx}}{\pi-x-sinx}}\)

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam

Wszystko ogranicza sie do policzenia pochodnych... Chociaz pierwszy przyklad nie potrzebuje delopitala, tj:
1.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x^{5} e^{-2x}=
[ 0\cdot 1 ]=0}\)

2.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x^3}{e^{x}}=\left[ \frac{\infty}{\infty}\right]=H=
\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2}{e^{x}}=\left[ \frac{\infty}{\infty}\right]=H=
\lim_{x\to\infty} \frac{6x}{e^{x}}=\left[ \frac{\infty}{\infty}\right]=H=
\lim_{x\to\infty} \frac{6}{e^{x}}=\left[ \frac{6}{\infty}\right]=0}\)

3.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin ^{2}x}{x^{2}}=\left[ \frac{0}{0} \right]=H=
\lim_{x\to 0} \frac{2\arcsin x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{2x}=
\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x\sqrt{1-x^2}}=\left[\frac{0}{0}\right]=H=
\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-x^2}- \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=
\lim_{x\to 0} \frac{1}{(1-x^2)-x}=\left[ \frac{1}{1-0-0} \right]=1}\)

[ Dodano: 2 Listopada 2008, 23:28 ]
4.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}=\left[ \frac{2}{0}\right]\\
\lim_{x\to 0^-} \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}=\left[ \frac{2}{0^-}\right]=-\infty\\
\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}=\left[ \frac{2}{0^+}\right]=+\infty\\}\)

Granice jednostronne sa rozne, wiec ogolnie granica nie istnieje

[ Dodano: 2 Listopada 2008, 23:56 ]
5.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi} \frac{e^{\pi-x}-e^{\sin x}}{\pi-x-\sin x}=\left[\frac{0}{0}\right]=H=
\lim_{x\to \pi} \frac{-e^{\pi-x}-e^{\sin x}\cos x}{-1-\cos x}=
ft[ \frac{0}{0}\right]=H=
\lim_{x\to \pi} \frac{e^{\pi-x}-e^{\sin x}\cos^2 x+e^{\sin x}\sin x}{\sin x}=
ft[ \frac{0}{0}\right]=H=
\lim_{x\to \pi} \frac{-e^{\pi-x}
-e^{\sin x}\cos^3 x+e^{\sin x}\sin (2x)+e^{\sin x}\cos x\sin x
+e^{\sin x}\cos x}{\cos x}=
ft[\frac{-1+1+0+0-1 }{-1}\right]=1}\)

Pozdrawiam.