Zad 1.
Z def Cauchy'ego granicy w punkcie wykaż, że:
\(\displaystyle{
\lim_{ x\to 2} f(x)=12
}\)
gdzie
\(\displaystyle{
f(x)= \frac{x ^{3} -8}{x-2}
}\)
Trzeba znajeźć takie \(\displaystyle{ \delta}\), aby dla każdego \(\displaystyle{ x \neq 2}\), spełniającego nierówność: \(\displaystyle{ \left| x - 2\right| < \delta }\), była spełniona nierówność:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< \epsilon
}\)
Zauważmy, że (jak tylko widzę coś takiego w książce do samodzielnej nauki to dostaję palpitacji serca):
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|<\left|\frac{(x-2)(x ^{2} +2x +4)}{x-2} -12 \right|=\left|(x-2)(x +4) \right| \le \left|(x-2)\right|(\left|x\right|+4)
}\)
Tu jest całkiem prosto, elementarne zależności z wartości bezwzględnych żeby spróbować uzyskać term x-2 po prawej i delte
Jeśli \(\displaystyle{ \left| x - 2\right| < \delta }\), to \(\displaystyle{ \left| x\right| \le \left|x-2\right|+2 < \delta +2 }\)
No i mamy co tam chcieliśmy wstawiamy i otrzymujemy coś takiego:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< \delta(\delta+6)= \delta ^{2} +6\delta
}\)
i tu zaczyna się zgrzyt. Autorzy przyjęli \(\displaystyle{ \delta=\min\left\{ \frac{\epsilon}{7},1\right\}}\) !!!
Lecimy dalej:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< 7\delta \le 7 \frac{\epsilon}{7} = \epsilon
}\)
Skąd to min się tam wzięło, dlaczego \(\displaystyle{ 7\delta}\) skoro po prawej było \(\displaystyle{ \delta ^{2} +6\delta}\). Czy chodzi o to ze dla malych delta kwadrat bedzie mniejszy od samej delty? Bo dla >2 wiadomo, że to nie jest prawdziwe. A co z tą nieszczęsną jedynką, skąd tam to się wzięło?
Zad2.
Korzystając z def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie pokazać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \sin x=1}\)
Trzeba znaleźć takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2} }\) warunek \(\displaystyle{ \left| x- \frac{ \pi }{2} \right| <\delta}\) implikuje \(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| <\epsilon}\)
No i mamy
\(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| =\left| \sin x-\sin \frac{ \pi }{2} \right|=2\left| \cos( \frac{x+ \frac{ \pi }{2} }{2} )\right| \left| \sin( \frac{x- \frac{ \pi }{2} }{2} )\right| }\)
Ponieważ funkcja cosinus jest ograniczona oraz na mocy nierówności * \(\displaystyle{ \left| \sin t\right| \le\left| t\right| , t \in \RR }\), mamy
\(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| \le\left| x- \frac{ \pi }{2} \right| }\)
Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ \delta=\epsilon}\), to
\(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| \le\left| x- \frac{ \pi }{2} \right| <\delta=\epsilon}\) o ile tylko \(\displaystyle{ \left| x- \frac{ \pi }{2} \right| <\delta}\)
Z tego tutaj nie jestem pewien tego skrótu, bo wiem, że cos jest oganiczony między -1 i 1 więc czy również dla fukncji cos była by prawdziwa nierówność *?
z góry dziękuję za pomoc. Z całym szacunkiem dla autorów książki, ale o ile pierwszy niebieski tom (repetytorium) był bardzo zrozumiały i czytelnie rozpisany, to z jakiegoś dziwnego powodu w kolejnych zdecydowano się na głupie skróty myślowe, a zostawiono nic nie znaczące głupotki, np. skracanie wizualne ułamków jak w zadaniu 1 (pominąłem dla oszczędności wpisu). Trochę już dawno miałem do czynienia z matematyką i pewne umiejętności mi po prostu "zardzewiały", ale jak widzę coś takiego, to pojawia się pytanie, dla kogo ta książka. Ktoś, kto się uczy, zanim dostrzeże wszelakie skróty, najpierw musi się ich nauczyć. Jak się zapomni, to też mikro wyjaśnienie by było na miejscu. Ciekawe co będzie w kolejnych rozdziałach
. Nie wiem czy jakaś errata będzie/jest do tych podręczników gdziekolwiek dostępna. Ktoś może wie? Pozdrawiam
. Wydaje mi się, że przykłady były w tej książce wstawiane przez różnych autorów, bo w jednych przykładach jest to rozpisane na czynniki proste, a innych skrótowce. A jeśli chodzi o przykład nr 2 to rozumiem że dobrze myślę z tym cosinusem bo i tak wartość