Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x\to n}=\sqrt[3]{(x(x+1)^2)}-\sqrt[3]{(x(x-1)^2)}}\)

rospisalam to przeksztalcając wzor na \(\displaystyle{ a^3+b^3}\) ale wychodzi nie granica nie oznaczona i trzeba by bylo z pochodnymi sie bawic a jest masa zlozonych funkcji i mnozenia. moze jest jakis lepszy sposób? probowalam tez sprowadzic do wspolnego mianownika tez duzo liczenia a konca nie widac macie jakis pomysl?

Trzeba pomnożyć sobie licznik i mianownik (króry na początku wynosi 1) przez takie wyrażenie, aby na górze była różnica sześcianów. W liczniku się ładnie poskraca, potem dzielisz licznik i mianowanik przez \(\displaystyle{ x^2}\), wychodzi ładna granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}{\sqrt[3]{x(x+1)^2}-\sqrt[3]{x(x-1)^2}}=\\=\lim_{x\to\infty}{\frac{x(x+1)^2-x(x-1)^2}{\left(\sqrt[3]{x(x+1)^2}\right)^2+\sqrt[3]{x(x+1)^2}\cdot\sqrt[3]{x(x-1)^2}+\left(\sqrt[3]{x(x-1)^2}\right)^2}}=\\=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^3+2x^2+x-x^3+2x^2-x}{\sqrt[3]{x^2(x+1)^4}+\sqrt[3]{x^2(x+1)^2(x-1)^2}+\sqrt[3]{x^2(x-1)^4}}}=\\=\lim_{x\to\infty}{\frac{4x^2}{\sqrt[3]{x^2(x+1)^4}+\sqrt[3]{x^2(x+1)^2(x-1)^2}+\sqrt[3]{x^2(x-1)^4}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\L\lim_{x\to\infty}{\frac{4}{\sqrt[3]{1\cdot(1+\frac1{x^4})^4}+\sqrt[3]{1\cdot(1+\frac1{x^2})^2(1-\frac1{x^2})^2}+\sqrt[3]{1\cdot(1-\frac1{x^4})^4}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{4}{1+1+1}=\frac43}\)

dzieki tez tak robilam ale cos mi nie wychodzilo...