Matematyka.pl

Jutro mam sprawdzian z granic a na większości tematów niestety (nie z mojej winy) mnie nie było i mam straszne braki :/ Nauczyciel dał kilka przykładów i zwracam się do was z prosbą o ich rozwiązanie ... dzięki temu (mam nadzieje) nadrobie raz dwa braki bo z notatek kolegi trudno co kolwiek zrozumieć. Z góry dziękuje

1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \sqrt{x^{2}+1} - x}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{\6x}{\sqrt{x^{2}+1}}}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1} - 1}{\sqrt{x^{2}+4} - 2}}\)

4) \(\displaystyle{ \lim_{x\to-\frac{1}{2}} \frac{4x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}}\)

5) \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2 -} \frac{x^{2}-3x+5}{x^{2}+4x+4}}\)

z góry dziękuje )

1) \(\displaystyle{ =\lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)\cdot(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=0}\)

W Pierwszym będzie tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to{\infty}}\sqrt{x^{2}+1}-x=\lim_{x\to{\infty}}\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\lim_{x\to{\infty}}\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\lim_{x\to{\infty}}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\lim_{x\to{\infty}}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{x}}=0}\)

[ Dodano: 11 Wrzesień 2006, 18:54 ]
W drugim:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to{\infty}}\frac{6x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\lim_{x\to{\infty}}\frac{6}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=6}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-\frac{1}{x}}{sqrt{1+\frac{4}{x^{2}}}-\frac{2}{x}}=1}\)

Ad 4.

\(\displaystyle{ \frac{(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)(x-1)}}\)

5) \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2 -} \frac{x^{2}-3x+5}{x^{2}+4x+4}= ft[\frac{4+6+5}{0^{+}} \right]= + }\)

5) \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^{-}}\frac{x^{2}-3x+5}{(x+2)^{2}}=[\frac{15}{0^{+}}]=+\infty}\)

a w tym pierwszym nie można po prostu wyrzucić \(\displaystyle{ x^2}\) z pod pierwiastka ?? , no i potem będzie x-x=0
może to co wypisuje to jakieś herezje matematyczne, w każdym bądź razie oświećcie mnie

nie, ponieważ granica z \(\displaystyle{ x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\) wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\), z granica z x wychodzi również \(\displaystyle{ \infty}\). Wynikiem tego jest różnica \(\displaystyle{ \infty - }\), a to jest symbol nieoznaczony, którego przez tą całą metodę staramy się uniknąc.