Granice z pierwiastkami.

Arcanus · Post autor: **Arcanus** » 22 lut 2006, o 16:19

Oto pare granic z którymi nie moge sobie poradzic:
1. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\1}\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-\sqrt[5]{x}}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+25}-5}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}}\)

Wiem ze raczej sa proste ale znane mi sposoby nie działaja :/

Nightcrawler · Post autor: **Nightcrawler** » 22 lut 2006, o 17:38

a możeby zastosować cos takiego jak reguła de L'Hospitala? wg mnie pomoze:)

amdrozd · Post autor: **amdrozd** » 22 lut 2006, o 17:46

ad 1: niech \(\displaystyle{ \sqrt[15]{x} = t}\), mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1-t^5}{1-t^3} = \frac{(1-t)(t^4+t^3+t^2+t+1)}{(1-t)(t^2+t+1)} =\frac{(t^4+t^3+t^2+t+1)}{(t^2+t+1)}=k}\), wracając z podstawieniem, łatwo policzyć iż: \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}k=\frac{5}{3}}\)

ad 3: Niech \(\displaystyle{ t:=\sqrt[3]{1+x}}\), więc \(\displaystyle{ x = t^3-1}\)
mamy:
\(\displaystyle{ \frac{t-1}{t^3-1} = \frac{(t-1)}{(t-1)(t^2+t+1)}}\), wracając z podstawieniem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(\sqrt[3]{1+x})^2+\sqrt[3]{1+x}+1} = k}\), więc
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}k = \frac{1}{3}}\)

Arcanus · Post autor: **Arcanus** » 22 lut 2006, o 20:15

amdrozd pisze:ad 1: niech \(\displaystyle{ \sqrt[15]{x} = t}\), mamy wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1-t^5}{1-t^3} = \frac{(1-t)(t^4+t^3+t^2+t+1)}{(1-t)(t^2+t+1)} =\frac{(t^4+t^3+t^2+t+1)}{(t^2+t+1)}=k}\), wracając z podstawieniem, łatwo policzyć iż: \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}k=\frac{5}{3}}\)

Zgodze sie z rozwiązaniem tylko nie zgodze sie z podstawieniem jak juz to
\(\displaystyle{ x=t^{15}}\)