Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-1 } \frac{1+ \sqrt[5]{x} }{1+ \sqrt[3]{x} } =}\)

podstawie \(\displaystyle{ x=t^{15}}\) wtedy :

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to-1 } \frac{1+ \sqrt[5]{x} }{1+ \sqrt[3]{x} } = \lim_{t \to -1} \frac{1+t^3}{1+t^5}= \lim_{t \to -1} \frac{(t+1)(t^2-t+1)}{(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)}=...}\)

od tego momentu już łatwo to policzyć bo wystarczy wstawić.

Jeśli chodzi o uzasadnienie takich rozkładów np. \(\displaystyle{ 1+t^5=(t+1)(t^4-t^3+t^2-t+1)}\)
to można zwinąć to z wzory na kilka początkowych wyrazów ciągu geometrycznego albo po prosty użyć gotowego wzoru.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to-1} \frac{cos(1+x)-cos(1-x)}{x}}\)

Jak to rozwiązać?

Moje obliczenia
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-1} \frac{cos(1+x)-cos(1-x)}{x}= \lim_{x\to-1} \frac{-2sin( \frac{1+x-1+x}{2} )sin (\frac{1+x+1-x}{2}) }{x}= \lim_{x\to-1} \frac{-2sin(x)sin(1)}{x}=\\= \frac{-2sin(-1)sin(1)}{-1}=2sin(-1)sin(1)=2* \frac{1}{2}(cos(-1-1)-cos(-1+1))=cos(-2)-cos(0)=cos(-2)-1}\)

Korzystałem z: \(\displaystyle{ cos( \alpha)-cos( \beta )=-2sin( \frac{ \alpha - \beta }{2})sin( \frac{ \alpha + \beta }{2} )}\) oraz \(\displaystyle{ sin( \alpha )*sin( \beta )= \frac{1}{2}[cos( \alpha - \beta ) -cos( \alpha + \beta )]}\). Oba wzory stąd: kompendium-geometrii-f33/trygonometria- ... tml#p13910

Miałem sporą przerwę w nauce matmy, proszę o analizę moich wypocin.

Żadnych wzorów tutaj, liczymy bezpośrednio!
\(\displaystyle{ \lim_{x\to-1} \frac{\cos(1+x)-\cos(1-x)}{x}=\lim_{x\to-1} \frac{\cos 0-\cos(2)}{-1}=\cos 2 - 1}\)

No w sumie, wyszło to samo zważywszy na \(\displaystyle{ cos(x)=cos(-x)}\). ;V Przynajmniej wiem, że (chociaż niepotrzebnie) użyłem poprawnie wzorów i nie pomyliłem się w obliczeniach.

Sztuką jest nie liczyć "cokolwiek", byle jak, lecz tylko z sensem i szybko.

Dobra, teraz ostatni już przykład.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to- \infty }arcsin \frac{1-x}{1+x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to- \infty} \frac{1 -x}{1+x} = \lim_{x\to- \infty} \frac{ \frac{1}{x} -1}{ \frac{1}{x} +1} =-1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to- \infty }arcsin \frac{1-x}{1+x}=arcsin(-1)= \frac{-\pi}{2}}\)

Muszę się pilnować, teraz dobrze? Dzięki za pomoc.

Wiem, że odkopuję, ale warto. Ku przestrodze.

wojtek4567 pisze: 14 lis 2016, o 14:55 Dobra, teraz ostatni już przykład.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to- \infty }arcsin \frac{1-x}{1+x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to- \infty} \frac{1 -x}{1+x} = \lim_{x\to- \infty} \frac{ \frac{1}{x} -1}{ \frac{1}{x} +1} =-1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to- \infty }arcsin \frac{1-x}{1+x}=arcsin(-1)= \frac{-\pi}{2}}\)

Pozornie wszystko jest OK, ale dla `x<-1` mamy
\(\displaystyle{ \frac{1-x}{1+x}= \frac{-1-x+2}{1+x}=-1+ \frac{2}{1+x}<-1}\),
więc wyrażenie, którego granicę tak pracowicie wyliczono, po prostu nie ma sensu.