Matematyka.pl

obliczyć:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to }(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to }(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x = \lim_{x \to 0}(\frac{a^x+b^x}{2})^\frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}\ln (\frac{a^x+b^x}{2})}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\ln (\frac{a^x+b^x}{2}) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (\frac{a^x+b^x}{2})}{x} = H =\lim_{x \to 0} \frac{a^x\ln a + b^x\ln b}{a^x+b^x} = \frac{\ln a + \ln b}{2}}\)
\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln a + \ln b}{2}} = \sqrt{ab}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to }(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x = \sqrt{ab}}\)

policzmy granice logarytmu z tego wyrazenia

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} 1/t \ln(1+(\frac{a^t+b^t}{2}-1)) = \lim_{t \to 0} 1/t \frac{\ln(1+(\frac{a^t+b^t}{2}-1))}{\frac{a^t+b^t}{2}-1} * ({\frac{a^t+b^t}{2}-1})}\)

wystarczy wiedziec ze
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{a^t-1}{t} = ln a}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{ln(1+t)}{t} =1}\)

wychodiz wiec \(\displaystyle{ 0,5ln(ab)}\)

i ostatecznie \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\)

zapomniałem dopisać że bez Hospitala, ale i tak dzięki

\(\displaystyle{ \lim_{x \to }(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^2=\lim_{x\to }(\frac{x\sqrt[x]{a}+x\sqrt[x]{b}-2x+2x}{2x})^2=\lim_{x\to }(\frac{ln(a)+ln(b)+2x}{2x})^x=\lim_{x\to }(1+\frac{ln(a)+ln(b)}{2x})^{\frac{2x}{ln(a)+ln(b)}\cdot \frac{ln(a)+ln(b)}{2x}\cdot x}=e^{\frac{ln(a)+ln(b)}{2}}=\sqrt{ab}}\)

wiedząc oczywiście, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to }x(\sqrt[x]{a}-1)=\ln(a)}\) a to wynika łatwo z podstawienia \(\displaystyle{ t=\sqrt[x]{a}-1}\)

przy czym rozwiązanie korzysta z tego samego co już napisał wyżej _el_doopa

Można i tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to }\left(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2}\right)^x=\lim_{t\to 0}\left(\frac{a^t+b^t}{2}\right)^\frac{1}{t}=\lim_{t\to 0}\mu_t (a,b)=\mu_0 (a,b)=\sqrt{ab}}\)

co to \(\displaystyle{ \mu_0}\) i inne to tu:


(choć nie jestem pewien czy to nie jest w jakiś sposób podobne do liczenia granicy \(\displaystyle{ \frac{sin x}{x}}\) przy pomocy Hospitala)