Matematyka.pl

Hej, patrzyłem się dziś bezmyślnie w ścianę z nudów i nagle wpadłem na dość ciekawe zadanie z analizy.
Mianowicie niech \(\displaystyle{ 0<G _{0} <A _{0} }\) i \(\displaystyle{ G _{0},A _{0} }\) rzeczywiste. Niech \(\displaystyle{ G _{n}= \sqrt{G _{n-1}A _{n-1}} }\) oraz \(\displaystyle{ A _{n}= \frac{G _{n-1}+A _{n-1}}{2} }\) i ile wynosi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } G _{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } A _{n}}\).
Ciąg \(\displaystyle{ G _{n}}\) jest rosnący i ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ A _{0} }\) a ciąg \(\displaystyle{ A _{n}}\) jest malejący i ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ G _{0} }\), więc te granice istnieją. Ograniczenie i monotoniczność mamy z nierówności między średnimi. Natomiast jak już chce zabrać się za znalezienie tej granicy i podstawiam, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } G _{n}=\lim_{n \to \infty } G _{n-1}=G}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } A _{n}=\lim_{n \to \infty } A _{n-1}=A}\) to mam układ, że te granice są sobie równe ale może je spełniać dowolna liczba i nie bardzo wiem co dalej. Ma ktoś może pomysł?

Ta średnia nazywa się średnią arytmetyczno-geometryczną i jej włąsności sa dosć dobrze znane: