Matematyka.pl

Jak się liczy granice takich funkcji??

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\pi}\frac{\sin^{2} x}{xtgx}}\)

regula de l'hospitala

w pierwszym przypadku mozna odrazu stwierdzić że ta granica jest 0 gdyż licznik jest ograniczony - tzn jest liczba skonczoną a mianownik daży do nieskończoności

mógłby ktoś rozpisać przykłady b) i c)??

o ile mi sie dobrze wydaje, to w przykladzie b) mozna sprobowac tak:
lim(1 - 3x)^(1/x) = lim(1 - 3x)^(x^-1) = lim((1 - 3x)^x)^-1 = lim(1/(1-3x)^x) = 1
(x->0) (x->0) (x->0) (x->0)


_____
Post do poprawy! Obowiązuje TeX!
[bolo]

w drugiem wyjdzie coś e jest to przekształcenie granicy: \(\displaystyle{ (1 + {1 \over n})^n = (1+x)^{1/x}}\) gdzie \(\displaystyle{ x = 1/n}\) dąży do zera jeśli n do nieskończoności . sory za pominięcie limesów = nie chce mi się pisać
aha,\(\displaystyle{ lim(1-3x)^{1/x} = lim(1+(-3)x)^{\frac{1}{-3x} (-3)}=e^{-3}}\)
a w trzecim bezwzględnie użyć trzeba Szpitala

nie wiedziałem że jest takie przekształcenie liczby e

Chodziło o takie coś:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}((1-\frac{1}{\frac{1}{3x}})^{\frac{1}{3x}})^{3}}\)

By wyglądało to formalnie, zróbmy małą zamianę zmiennej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3x}\equiv n \\ x\to 0 \equiv n\to\infty}\) i mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}((1-\frac{1}{\frac{1}{3x}})^{\frac{1}{3x}})^{3}=\lim_{n\to\infty}((1-\frac{1}{n})^{n})^{3}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^{n})=\frac{1}{e}}\), to szukana granica to: \(\displaystyle{ \frac{1}{e^{3}}}\).

zdązyłem to już zauważyć

c) bez de'Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\pi}\frac{\sin^2x}{xtgx} = \lim_{x\to\pi}sin^2x * \frac{\cos x}{x\sin x} = \lim_{x\to\pi}\frac{\sin x*\cos x}{x} = \frac{0}{\pi} = 0}\)