granica funkcji
-
Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
granica funkcji
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } x ^{ \frac{3}{2}} ( \sqrt{x+1} + \sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} -3 \sqrt{x} )=
\\ = \lim_{x \to } x ^{ \frac{3}{2}}*x ^{ \frac{1}{2}} ( \sqrt{1+ \frac{1}{x} } + \sqrt{1+ \frac{2}{x} } + \sqrt{1- \frac{3}{x} } -3)=
\\ = \lim_{x \to } x ^{2} ( \sqrt{1+ \frac{1}{x} } + \sqrt{1+ \frac{2}{x} } + \sqrt{1- \frac{3}{x} } -3)=
\\ = * (1+1+1-3)= *0=0}\)
\\ = \lim_{x \to } x ^{ \frac{3}{2}}*x ^{ \frac{1}{2}} ( \sqrt{1+ \frac{1}{x} } + \sqrt{1+ \frac{2}{x} } + \sqrt{1- \frac{3}{x} } -3)=
\\ = \lim_{x \to } x ^{2} ( \sqrt{1+ \frac{1}{x} } + \sqrt{1+ \frac{2}{x} } + \sqrt{1- \frac{3}{x} } -3)=
\\ = * (1+1+1-3)= *0=0}\)
-
sednodna
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 23 paź 2008, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ze wsi
- Pomógł: 2 razy
granica funkcji
Oczywiście, że jest źle ! Bo My zzerowaliśmy nieskończoność? A może znieskończeniowaliśmy zero ?
Proponuję zapisać to w formie \(\displaystyle{ ( \sqrt{x+1} - \sqrt{x}) + (\sqrt{x+2} - \sqrt{x}) + (\sqrt{x-3} - \sqrt{x})}\).
Później skorzystałbym z tego, że \(\displaystyle{ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}\).
Poprzekształcać, poprzekształcać i.... powinno wyjść \(\displaystyle{ -\frac{7}{4}}\)
Proponuję zapisać to w formie \(\displaystyle{ ( \sqrt{x+1} - \sqrt{x}) + (\sqrt{x+2} - \sqrt{x}) + (\sqrt{x-3} - \sqrt{x})}\).
Później skorzystałbym z tego, że \(\displaystyle{ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}\).
Poprzekształcać, poprzekształcać i.... powinno wyjść \(\displaystyle{ -\frac{7}{4}}\)
-
sednodna
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 23 paź 2008, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ze wsi
- Pomógł: 2 razy
granica funkcji
Korzystając z tego co pisałem wcześniej powinieneś dostać \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x+1} + \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} - \frac{3}{ \sqrt{x-3}+ \sqrt{x}}}\)
Sprowadzając wszystko do współnego mianownika otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{( \sqrt{x+2} + \sqrt{x} )( \sqrt{x-3} + \sqrt{x}) + 2(\sqrt{x+1}+ \sqrt{x})( \sqrt{x-3} + \sqrt{x}) - 3(\sqrt{(x+1} + \sqrt{x})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x})}{(\sqrt{(x+1} + \sqrt{x})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x})(\sqrt{x-3} + \sqrt{x})}}\)
Jak wiemy, granica ilorazu jest równa ilorazowi granic. Rozpatrzmy więc ten skomplikowany ułamek w dwóch stopniach.
Najpierw zbadajmy mianownik. Z każdej części iloczuny wyciągnąć należy \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ x^\frac{3}{2}*(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1) (\sqrt{1+ \frac{2}{x}} + 1)(\sqrt{1-\frac{3}{x}}}+1)}}\)
to \(\displaystyle{ x^\frac{3}{2}}\) skraca się z tym samym na początku zadania. Granicę mianownika nieproblem obliczyć.
Teraz licznik.
Wszystko należy ze sobą wymnożyć, ale pozostawić jako pierwiastki iloczynów. Poskracać to co się da i pogrupować.
Powinno wyjść coś takiego:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{(x+2)(x-3)} - \sqrt{x(x+1)}) + 2( \sqrt{(x+1)(x-3)} - \sqrt{x(x+2)} ) + 3 ( \sqrt{x(x-3)} - \sqrt{(x+2)(x+1)} )}\)
Z tym powinniśmy zrobić to co na początku, czyli korzystamy, że \(\displaystyle{ a - b = \frac{a^2 - b^2}{a+b}}\)
Nie brać do wspólnego mianownika tylko od razu podzielić licznik i mianownik przez x.
Granica licznika powinna wyjść \(\displaystyle{ -14}\), natomiast mianownika \(\displaystyle{ 8}\) co daje \(\displaystyle{ - \frac{7}{4}}\).
Sprowadzając wszystko do współnego mianownika otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{( \sqrt{x+2} + \sqrt{x} )( \sqrt{x-3} + \sqrt{x}) + 2(\sqrt{x+1}+ \sqrt{x})( \sqrt{x-3} + \sqrt{x}) - 3(\sqrt{(x+1} + \sqrt{x})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x})}{(\sqrt{(x+1} + \sqrt{x})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x})(\sqrt{x-3} + \sqrt{x})}}\)
Jak wiemy, granica ilorazu jest równa ilorazowi granic. Rozpatrzmy więc ten skomplikowany ułamek w dwóch stopniach.
Najpierw zbadajmy mianownik. Z każdej części iloczuny wyciągnąć należy \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ x^\frac{3}{2}*(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1) (\sqrt{1+ \frac{2}{x}} + 1)(\sqrt{1-\frac{3}{x}}}+1)}}\)
to \(\displaystyle{ x^\frac{3}{2}}\) skraca się z tym samym na początku zadania. Granicę mianownika nieproblem obliczyć.
Teraz licznik.
Wszystko należy ze sobą wymnożyć, ale pozostawić jako pierwiastki iloczynów. Poskracać to co się da i pogrupować.
Powinno wyjść coś takiego:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{(x+2)(x-3)} - \sqrt{x(x+1)}) + 2( \sqrt{(x+1)(x-3)} - \sqrt{x(x+2)} ) + 3 ( \sqrt{x(x-3)} - \sqrt{(x+2)(x+1)} )}\)
Z tym powinniśmy zrobić to co na początku, czyli korzystamy, że \(\displaystyle{ a - b = \frac{a^2 - b^2}{a+b}}\)
Nie brać do wspólnego mianownika tylko od razu podzielić licznik i mianownik przez x.
Granica licznika powinna wyjść \(\displaystyle{ -14}\), natomiast mianownika \(\displaystyle{ 8}\) co daje \(\displaystyle{ - \frac{7}{4}}\).