Matematyka.pl

To mój pierwszy post na forum a zatem witam!

No ta granica jest niestety źle wyliczona - Kostucha1 zauważ, że przekształcając granicę na samym końcu napisałaś, że \(\displaystyle{ e^{\infty}=\infty}\) a to wyrażenie w wykładniku potęgi jest tak naprawdę wyrażeniem nieoznaczonym postaci \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\)

Zatem do wyrażenia znajdującego się w wykładniku potęgi należałoby zastosować tw. de l'Hospitala, czyli granica wyglądałaby następująco:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}(e^{3x}+x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0^+}e^{\frac{ln(e^{3x}+x)}{x^2}}\)
Teraz zajmę się samym wyrażeniem w wykładniku potęgi liczby e:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}\frac{ln(e^{3x}+x)}{x^2}=[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to 0^+}\frac{3e^{3x}+1}{(e^{3x}+x)2x}=[\frac{4}{0}]}\)
A taka granica nie istnieje, więc albo coś sknociłem, albo ten przykład taki jest...

Ale to jest granica jednostronna...

Rzeczywiście mój błąd - sorki namieszałem

[ Dodano: 18 Czerwca 2008, 21:45 ]

kostucha1 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0^{+} }e^{{\frac{1}{x^2}}\ln(e^{3x}+x)}=e^\infty=\infty}\)

W takim razie tak naprawdę w wykładniku potęgi liczby mamy symbol nieoznaczony postaci \(\displaystyle{ [\infty*0]}\) i granica nadal jest źle wyliczona

Czyżbym znowu się mylił???

Wcześniej dobrze liczyłeś z tym że końcówkę miałeś nieprecyzyjną, bo skoro mamy granicę prawostronną to nie mamy \(\displaystyle{ \left[\frac{4}{0}\right]}\) tylko \(\displaystyle{ \left[\frac{4}{0^+}\right]}\) i jest granica

faktycznie w wykladniku jest
\(\displaystyle{ \infty\cdot 0}\)

czyli będzie tak

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0^{+} }e^{{\frac{1}{x^2}}\ln(e^{3x}+x)}}\)

policzmy osobno granice

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^2}}\ln(e^{3x}+x)}=\lim_{x \to 0^+}\frac{ln(e^{3x}+x)}{x^2}=^{[\frac{0}{0}]}=\lim_{x \to 0^+}\frac{3e^{3x}+1}{(e^{3x}+x)2x}=^{[\frac{4}{0^+}] }}\)

zatem

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+}e^{\frac{3e^{3x}+1}{(e^{3x}+x)2x}}=e^{[\frac{4}{0^+}] }=e^\infty=\infty}\)

Teraz masz jak najbardziej ok POZDRO