Matematyka.pl

Witam,

proszę o pomoc z rozwiązaniem zadania "Oblicz, nie używając pochodnych". Cały problem polega na tym że w pewnym momencie wychodzi mi nieoznaczoność

Rozpisuję zadanie do tego momentu i nie wiem co dalej :/

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{5 \sin\left( 5x\right) }{2\tg\left( 2x\right) }= \frac{5}{2}\lim_{x \to 0 } \frac{\sin\left( 5x\right)\cos\left(2x\right) }{\sin\left( 2x\right) }= \frac{5}{2}\lim_{x \to 0 } \frac{\sin\left( 5x\right) }{5x} \cdot 5x \cdot \cos\left( 2x\right) \cdot \frac{1}{ \frac{\sin\left( 2x\right) }{2x} } \cdot \frac{1}{2x}=\\=\frac{5}{2}\lim_{x \to 0 } 1 \cdot 5x \cdot \cos\left( 2x\right) \cdot 1 \cdot \red{\frac{1}{2x}}}\)

Problem polega na tym,ze:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{\sin(5x)}{\sin(2x)}= \lim_{ x\to0 } \frac{\sin(5x)}{5x}\cdot \frac{2x}{\sin(2x)}\cdot \frac{5x}{2x}= \frac{5}{2}}\)

oraz: \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }\cos(2x) = 1}\)

Yay.. teraz widzę, że nawet poprawnie (choć koślawo) to rozpisałem. Nie wiem czemu nie zauważyłem tego \(\displaystyle{ 5x \cdot ... \cdot \frac{1}{2x}}\)

Ehh szkoda, że nasz profesor nie ma ochoty nam tłumaczyć zadań tylko daje gotowe wyniki