Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} x ^{ \frac{1}{1-x} } =[1 ^{ \infty }] ?}\)
Czy nie powinien być zbadana granica dla 1 od strony dodatniej i ujemnej bo jak podstawimy ją do \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x} = \frac{1}{0}}\) a tak chyba nie może być ?

\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} =e^{g(x)*lnf(x)}}\) i de l'Hospital
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} x^{ \frac{1}{1-x} }= \lim_{ x\to 1 }e^{\frac{1}{1-x}*lnx}}\)
z ciągłości funkcji można przejść z granicą do wyrażenia w potędze
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1 }\frac{lnx}{1-x} = \left[ \frac{0}{0} \right]=H= \frac{1}{-x} =-1}\)

ja wiem że tak można ale w wypadku gdy wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)to chyba liczyło się granice dla 0 od strony dodatniej i ujemnej ?

Coś nie tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1}x^{\frac{1}{1-x}} = \lim_{x \to 1} e^{\frac{lnx}{1-x}} = e^{ \lim_{x \to 1} \frac{lnx}{1-x}}}\) (skorzystałem z ciągłości funkcji)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{lnx}{1-x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{-x} = -1}\) (z de l'Hospitala)

Zatem \(\displaystyle{ e^{ \lim_{x \to 1} \frac{lnx}{1-x}} = e^{-1} = \frac{1}{e}}\)

EDIT: Jednak wszystko ok myślałem, ze końcową odpowiedzią była u Ciebie -1