Matematyka.pl

Przychodzę z dwoma pytaniami dotyczącymi granic funkcji dwóch zmiennych.
1) Kiedy nie można zrobić podstawienia zmiennych parametrycznych, czyli np. \(\displaystyle{ x = rcos \alpha}\), \(\displaystyle{ y = rsin \alpha}\)? A jeśli można zawsze, to dlaczego w następującym przykładzie:
\(\displaystyle{ \lim_{x,y \to 0,0} \frac{xy^2}{x^2+y^4} }\) po podstawieniu jak wyżej wychodzi nam \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{rcos \alpha sin^{2} \alpha }{cos^2 \alpha + r^2 sin^4 \alpha} }\), a ta granica zarówno dla \(\displaystyle{ cos \alpha = 0}\), jak i dla \(\displaystyle{ cos \alpha \neq 0}\) jest równa 0? Gdzie robię błąd? Wiem, że granica tej funkcji w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje.
2) W powyższym zadaniu po "podstawieniu" \(\displaystyle{ f(x,x)}\) granica jest równa \(\displaystyle{ 0}\), zaś po podstawieniu \(\displaystyle{ f(x, \sqrt{x}) }\) wychodzi równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), z czego wnioskujemy, że granica nie istnieje. A jakie "podstawienie" można by wykonać w przypadku takiej funkcji: \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{xy^3}{x^2+2y^4} }\) , żeby udowodnić, że jej granica również nie istnieje? Wiem, że chcemy uzyskać granicę różną od \(\displaystyle{ 0}\), ale nie mogę znaleźć takiego przypadku
Z góry bardzo dziękuję za pomoc!

1) Podstawić możesz zawsze ale ważna jest też interpretacja tego co się dzieje. Przykładowo czasem funkcja jest określona na \(\displaystyle{ \left(0, \infty \right) \times \left(0, \infty \right) }\) zamiast na \(\displaystyle{ \RR^2 \setminus \left\{ (0,0)\right\} }\) w takim przypadku kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) jest odpowiednio ograniczony. Tu jednak problem leży gdzie indziej. W tym przypadku kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) może być absolutnie dowolny i może zależeć od \(\displaystyle{ r}\). Wynik granicy nawet musi być niezależny od wyboru kąta \(\displaystyle{ \alpha }\). Wyobraź sobie ciąg \(\displaystyle{ r_1,r_2,\dots}\) dążący do zera. Do takiego ciągu można dobrać ciąg \(\displaystyle{ \alpha _1, \alpha _2,\dots}\) taki, że \(\displaystyle{ r_i= \cos \alpha_i/\sin^2 \alpha_i }\) wtedy poruszając się po takiej krzywej biegunowej granica będzie \(\displaystyle{ 1/2}\).

2) Hint:

Bardzo dziękuję za odpowiedź Teraz już rozumiem, w czym tkwił problem!
Jednak w drugim zadaniu nadal nie widzę, jaką funkcję wziąć, żeby granica \(\displaystyle{ \frac{xu^3}{x^2+u^4} }\) w \(\displaystyle{ 0}\)była różna od \(\displaystyle{ 0}\). Wciąż otrzymuję albo w liczniku coś dażącego do \(\displaystyle{ 0}\), a w mianowniku\(\displaystyle{ 1+\text{coś dążącego do }0}\), co w sumie daje granicę \(\displaystyle{ 0}\), albo w liczniku \(\displaystyle{ 1}\), a na dole coś dążącego do \(\displaystyle{ \pm \infty }\), co też daje granicę równą \(\displaystyle{ 0}\)... Nie widzę takiego podstawienia, żeby zarówno na górze, jak i na dole wyszło nam tylko x lub y do tej samej potęgi (ewentualnie pomnożone przez liczbę).

Atmos pisze: 7 cze 2022, o 17:19 żeby granica \(\displaystyle{ \frac{xu^3}{x^2+u^4} }\) w \(\displaystyle{ 0}\)była różna od \(\displaystyle{ 0}\).

\(\displaystyle{ (x,u)=(0,u)}\).

Albo inaczej. Jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{xy^3}{x^2+2y^4}}\) to \(\displaystyle{ f(0,y)=0}\) i koniec. Idziesz do \(\displaystyle{ (0,0)}\) po przykładowym ciągu \(\displaystyle{ (0,1/n)}\).

Chyba czegoś nie rozumiem :/ W tym przypadku nadal wychodzi nam granica równa \(\displaystyle{ 0}\), a żeby pokazać, że to nie ma granicy, musiałabym otrzymać dwie różne wartości. Po podstawieniu \(\displaystyle{ (x,u)=(0,u)}\) wychodzi nam granica z funkcji stale równej \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ 0}\), tak samo niżej. W jaki sposób to dowodzi nieistnienia tej granicy?

Ja też się pogubiłem. Piszesz, że chcesz ciąg na którym granica będzie zero. No i taki ciąg wskazałem. Ciąg na którym granica nie jest zero sama wskazałaś.

Obaj okazaliście ciągi, gdzie granica wychodzi zero.

Spróbuj `(ct^2,t)`

a4karo pisze: 7 cze 2022, o 17:52 Obaj okazaliście ciągi, gdzie granica wychodzi zero.

Ja taki wskazałem bo źle przeczytałem. Zamiast różne przeczytałem równe. Co mnie nawet zdwoiło bo to łatwiejsza część zadania. Tak czy inaczej:

Atmos pisze: 7 cze 2022, o 16:26 zaś po podstawieniu \(\displaystyle{ f(x, \sqrt{x}) }\) wychodzi równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\)

i po to był hint
wystarczy brać \(\displaystyle{ u= \sqrt{x} }\). Skoro w jednym wychodzi \(\displaystyle{ 1/2}\) to w drugim wyjdzie coś przeskalowanego. I to był argument na nieistnienie granicy.

A czym miałoby być \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ t}\)?
Tutaj \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) nie zadziała, bo jest inna potęga (wcześniej w mianowniku było \(\displaystyle{ xy^2}\), zaś w 2) jest \(\displaystyle{ xy^3}\).

\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{x y^2}{x^2 +y^4}. }\)

\(\displaystyle{ f(x,y)|_{x = ky^2} = \frac{ky^4}{k^2y^4 +y^4} = \frac{k}{k^2+1}. }\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0),\\ x = ky^2} f(x,y) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} [f(x,y)_{|x=ky^2}] = \frac{k}{k^2+1}. }\)

Granica zależy od wartości parametru \(\displaystyle{ k }\) (od ścieżki, po której dążymy do punktu \(\displaystyle{ (0,0). }\))

Na przykład gdy \(\displaystyle{ k=1 }\) dążymy po paraboli \(\displaystyle{ x = y^2}\) - granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)

Gdy dążymy po paraboli \(\displaystyle{ x = 2y^2 }\) granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{5}. }\)

Dla \(\displaystyle{ k =0, \ \ x=0, }\) gdy dążymy wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oy }\) granica ta jest równa \(\displaystyle{ 0. }\)

Granica funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4} }\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0) }\) nie istnieje.

Atmos pisze: 7 cze 2022, o 16:26A jakie "podstawienie" można by wykonać w przypadku takiej funkcji: \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{xy^3}{x^2+2y^4} }\) , żeby udowodnić, że jej granica również nie istnieje?

Nie ma takiego podstawienia, bo ta granica istnieje i wynosi zero, co łatwo wykazać stosując nierówność między średnimi:

$$\frac{x^2+2y^4}{2} \ge \sqrt{x^2 \cdot 2y^4}$$

1. Błąd twój jest taki, że obliczasz granicę przy ustalonym \(\displaystyle{ r,}\) a \(\displaystyle{ r}\) dąży do \(\displaystyle{ 0,}\) bo \(\displaystyle{ r ^{2}=x ^{2}+y^{2} . }\)

2 \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{xy ^{3} }{x ^{2} +2y ^{4}}=y\frac{xy ^{2} }{x ^{2} +2y ^{4}}= y\frac{ \frac{x}{y ^{2} } }{ ( \frac{x}{y ^{2} } ) ^{2} +2 } = y\cdot \frac{z}{z ^{2} +2} }\)

gdzie \(\displaystyle{ z= \frac{x}{y ^{2} } }\)

ponieważ \(\displaystyle{ y}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\), więc wystarczy, by funkcja \(\displaystyle{ t(z)= \frac{z}{z ^{2} +2} }\) była ograniczona z dołu i z góry by całość dążyła do \(\displaystyle{ 0}\),
łatwo sprawdzić ze jest .