Prosze o pomoc w udowodnieniu, że
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{\sin\left| x-y\right| }{ \sqrt{x^2+y^2} }}\)
nie istnieje, pierwszy podciąg to \(\displaystyle{ p_n= \left( \frac{1}{n},0 \right)}\)
granica dwóch zmiennych z sinusem
-
klaudekk
- Użytkownik
- Posty: 277
- Rejestracja: 30 paź 2010, o 15:06
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 8 razy
granica dwóch zmiennych z sinusem
Ostatnio zmieniony 15 lis 2011, o 23:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
granica dwóch zmiennych z sinusem
Wskazówka: najczęściej do tego typu przykładów wystarczają ciągi postaci \(\displaystyle{ a+\frac{b}{n^c}}\), dla odpowiednio dobranych \(\displaystyle{ a,b,c}\) (przy czym zwykle \(\displaystyle{ c=1}\)).
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
granica dwóch zmiennych z sinusem
\(\displaystyle{ x_n=y_n=\frac{1}{n}\\
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left| x_n-y_n\right| }{ \sqrt{x_n^2+y_n^2} }=\lim_{n\to\infty} \frac{\sin0 }{ \sqrt{x_n^2+y_n^2} }=\lim_{n\to\infty}0=0\\
x_n=-y_n=\frac{1}{n}\\
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left| x_n-y_n\right| }{ \sqrt{x_n^2+y_n^2} }=\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\frac{2}{n} }{ \frac{\sqrt{2}}{n} }=\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\frac{2}{n} }{ \frac{2}{n} }\cdot\sqrt{2}=1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\\}\)
Można też tak:
\(\displaystyle{ x=r\cos\varphi\\
y=r\sin\varphi\\
\lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{\sin\left| x-y\right| }{ \sqrt{x^2+y^2} }=\lim_{r\to 0} \frac{\sin\left| r\cos\varphi-r\sin\varphi| }{r}=\\=\lim_{r\to 0} \frac{\sin \left( r\left|\cos\varphi-\sin\varphi|\right)}{r\left|\cos\varphi-\sin\varphi\right|}\cdot \left|\cos\varphi-\sin\varphi|=\left|\cos\varphi-\sin\varphi|}\)
i jak widać granica zależy od drogi, po jakiej dążymy do punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), czyli funkcja nie ma w nim granicy
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left| x_n-y_n\right| }{ \sqrt{x_n^2+y_n^2} }=\lim_{n\to\infty} \frac{\sin0 }{ \sqrt{x_n^2+y_n^2} }=\lim_{n\to\infty}0=0\\
x_n=-y_n=\frac{1}{n}\\
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left| x_n-y_n\right| }{ \sqrt{x_n^2+y_n^2} }=\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\frac{2}{n} }{ \frac{\sqrt{2}}{n} }=\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\frac{2}{n} }{ \frac{2}{n} }\cdot\sqrt{2}=1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}\\}\)
Można też tak:
\(\displaystyle{ x=r\cos\varphi\\
y=r\sin\varphi\\
\lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{\sin\left| x-y\right| }{ \sqrt{x^2+y^2} }=\lim_{r\to 0} \frac{\sin\left| r\cos\varphi-r\sin\varphi| }{r}=\\=\lim_{r\to 0} \frac{\sin \left( r\left|\cos\varphi-\sin\varphi|\right)}{r\left|\cos\varphi-\sin\varphi\right|}\cdot \left|\cos\varphi-\sin\varphi|=\left|\cos\varphi-\sin\varphi|}\)
i jak widać granica zależy od drogi, po jakiej dążymy do punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), czyli funkcja nie ma w nim granicy