Zbiór postaci:
\(\displaystyle{ A_{n,m,l}=\left\{x\in\mathbb{R}\colon |f_n(x)-f_m(x)|\leq\frac{1}{l}\right\}}\)
jest domknięty, na mocy założenia, że funkcje \(\displaystyle{ f_n, n\in\mathbb{N}}\) są ciągłe.
Jak ja nienawidzę, kiedy jakaś oczywistość jest nie rozpisana a ja sam nie umiem ;_;
Ustaliłem zbieżny ciąg \(\displaystyle{ (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq A_{n,m,l}}\) i napisałem tak:
\(\displaystyle{ |f_n(x)-f_m(x)|=|f_n(\lim_{k\to\infty}x_k)-f_m(\lim_{k\to\infty}x_k)|=|\lim_{k\to\infty}(f_n(x_k)-f_m(x_k))|}\)
Stąd, że \(\displaystyle{ |f_n(x_k)-f_m(x_k)|\leq\frac{1}{l}, \; k\in\mathbb{N}}\) z założenia, \(\displaystyle{ (x_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq A_{n,m,l}}\). Wniosek: przechodząc do nierówności w granicy mam, że \(\displaystyle{ \left|\lim_{k\to\infty}f_n(x_k)-\lim_{k\to\infty}f_m(x_k)\right|=|f_n(x)-f_m(x)|\leq\frac{1}{l}}\) - ok?
Wtedy \(\displaystyle{ x\in A_{n,m,l}}\).
To jest pewnie przekomplikowanie i widać to jakoś łatwiej? Bo szczerze chwilę się użerałem, próbując to „poczuć”/„zobaczyć” i w końcu się uciekłem do tej ciągowej def. domkniętości zbioru
Czy dla większości z was, gdybyście robili zadanie, NIE polegające na tym, by pokazać, że omawiany zbiór jest domknięty, ale w rozwiązaniu którego pomaga w pewnym momencie zauważenie, że zb. \(\displaystyle{ A_{n,m,l}}\) jest domknięty, byłoby to oczywiste? Tzn. patrzycie na taki zbiór i „no tak, on jest domknięty”.
Szczerze to już byłem w trakcie edycji posta, bo też do mnie dotarło, że przekombinowałem 