Matematyka.pl

Natknąłem się na takowy problem przy próbie dowodu pewnego twierdzenia:

Dane są \(\displaystyle{ n\in\NN}\), liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ 0<r<R}\) oraz funkcja ciągła \(\displaystyle{ u:\RR\rightarrow\RR^n}\). Czy można udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \bigvee_{\delta>0}\bigwedge_{t,\tau\in\RR}\left( \left( |t-\tau|<\delta \wedge \|(t,u(t))\|\leq r \right) \Rightarrow \|(\tau,u(\tau))\|\leq R\right) }\)

Dodano po 29 minutach 9 sekundach:
Tak naprawdę to mam założenie, że \(\displaystyle{ u}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\). Nie pomyślałem, ale może się okazać to istotne.

Funkcja \(\displaystyle{ t \mapsto \| (t, u(t)) \|}\) jest ciągła, więc jest jednostajnie ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [-r-1, r+1]}\). Do \(\displaystyle{ \varepsilon = R - r > 0}\) można więc dobrać \(\displaystyle{ 0 < \delta < 1}\) takie, że dla dowolnych \(\displaystyle{ t, \tau \in [-r-1, r+1]}\) jeśli \(\displaystyle{ |t-\tau| < \delta}\), to \(\displaystyle{ \big| \| (t, u(t)) \| - \| (\tau, u(\tau) \| \big| < \varepsilon}\). Rutynowy dowód wykazuje, że \(\displaystyle{ \delta}\) jest takie jak trzeba.

Wszystko jasne. A nie wiesz może czy można osłabić założenie i przyjąć, że \(\displaystyle{ u:A\rightarrow\RR}\), gdzie \(\displaystyle{ A\subset\RR}\) jest zbiorem otwartym/przedziałem otwartym/dowolnym zbiorem. Oczywiście dokonujemy drobnej poprawki w tezie :

\(\displaystyle{ \bigvee_{\delta>0}\bigwedge_{t,\tau\in A}\left( \left( |t-\tau|<\delta \wedge \|(t,u(t))\|\leq r \right) \Rightarrow \|(\tau,u(\tau))\|\leq R\right) }\)

Nie można: funkcja \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ A = (0, 1)}\) tudzież \(\displaystyle{ r = \frac{1}{3}, R = \frac{2}{3}}\).