dwie granice

Rafix_ · Post autor: **Rafix_** » 9 gru 2010, o 04:10

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2} + 2\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}\sqrt{}x+2} =

\\
\\
\\
\\

\lim_{x \to 0} \frac{log_2 (1+x)}{x} =}\)

Granice należy obliczyć nie korzystając z reguły d'Hospitala

kolorowe skarpetki · Post autor: **kolorowe skarpetki** » 9 gru 2010, o 13:03

Granica specjalna : \(\displaystyle{ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log_a (1+x)}{x}=\frac{ 1}{\ln a}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2} +2 \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{x-2} \left (\frac{ \sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{x-2}}+2 \right )}{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}}=\ldots}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x}-\sqrt{2}=\frac{x-2}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ \ldots=\frac{\frac{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x-2}}+2}{\sqrt{x+2}}=\frac{\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}+2}{\sqrt{x+2}}}\)

\(\displaystyle{ \lim \limits_{x \rightarrow 2^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2} +2 \sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x+2}}=\frac{\frac{0}{2\sqrt{2}}+2}{\sqrt{4}}=1}\)

Rafix_ · Post autor: **Rafix_** » 10 gru 2010, o 17:54

dziękuję za pomoc w drugim a jak wyprowadzić wzór na tę "granicę specjalną" ?

pozdrawiam

kolorowe skarpetki · Post autor: **kolorowe skarpetki** » 11 gru 2010, o 11:59

\(\displaystyle{ \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\log_2 (1+x)}{x}=\frac{ 1}{\ln 2}}\)

abc666 · Post autor: **abc666** » 11 gru 2010, o 13:39

Rafix_, to wyprowadzenie możesz znaleźć tutaj viewtopic.php?t=23319.htm przy wyprowadzaniu pochodnej funkcji wykładniczej.