Matematyka.pl

Jak mozna udowodnic, ze \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{ \sin x}{x}=1}\)
Potrzebuje odpowiedzi jak najszybciej, z gory dziekuje za pomoc.

a regule de l'Hospitala znasz?? Jesli tak to najlepiej za pomoca niej. (Bo mamy 0/0)

wielkie dzieki
reguly nie znalem, ale poszperalem troche i juz wszystko wiem
jeszcze raz dziekuje i pozdrawiam

NIEEEEEEEE!!!!!!!!!!! to jest karygodny blad!!!!! sprobuj zrozniczkowac sinusa bez liczenia tej granicy...
tego faktu sie dowodzi patrzac na kolo trygonometryczne. dlugosc luku zbliza sie do dlugosci odcinka bedacego interpretacja sinusa jak \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\). troche wyobrazni i widac.

g pisze:NIEEEEEEEE!!!!!!!!!!! to jest karygodny blad!!!!! sprobuj zrozniczkowac sinusa bez liczenia tej granicy...
tego faktu sie dowodzi patrzac na kolo trygonometryczne. dlugosc luku zbliza sie do dlugosci odcinka bedacego interpretacja sinusa jak x->0. troche wyobrazni i widac.

A jak nie widać, można napisać pierwsze wyrazy szeregu Taylora....
\(\displaystyle{ \sin (x) = x - R(x^2)...}\) gdzie \(\displaystyle{ \frac{R(x^2)}{x^2}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) z \(\displaystyle{ x \rightarrow 0.}\)
zatem \(\displaystyle{ \frac{\sin (x)}{x} = 1 - \frac{R(x^2)}{ x}}\)
a w granicy dostajemy \(\displaystyle{ 1}\)

a jak niby zamierzasz rozwinac w szereg jak nie umiesz rozniczkowac?

g pisze:a jak niby zamierzasz rozwinac w szereg jak nie umiesz rozniczkowac?

Różniczkować umiem.. nie umiem tylko liczyć granic a szeregi Taylora dają lepse pojęcie o tym,. dlaczgo granica jest taka, a nie inna, niż reguła de L'Hospitala

Hehe jak to nie umiesz liczyć granic ? Ja rozumiem że da sie walnąć taką granicę że nie jeden by sie mógł zmęczyć i zgubić no ale hmmmm

Eh, jemu chodzilo o to, ze liczac pochodna z sinusa w pewnym momencie dochodzimy do liczenia granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{ \sin x}{x}}\), wiec skoro jej nie znamy, to nie umiemy policzyc pochodnej z funkcji trygonometrycznej, wiec robi sie bledne kolo przy korzystaniu z wzoru Taylora czy tez reguly del Hospitala :/

Liu z tego co mi mowił nauczyciel to obliczysz pochodna funkcji trygonometrycznych bez tego wzoru ale jest to dośc długa droga. Na udowodnienie tej granicy co w temacie to jest 6 sposobów z tego co sie doliczyłem podczas lekcji jak mi nauczyciel mówił.