Potrafisz uzasadnić, że ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ K}\) oraz w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ D}\) ?
No i oczywiście trzeba jeszcze sprawdzić ciągłość w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ S}\). W tym celu wybierzmy punkt \(\displaystyle{ z_0=(x_0,y_0)\in S}\). Oznaczając wyjściową funkcję przez \(\displaystyle{ f}\), wystarczy pokazać, że funkcje \(\displaystyle{ f|_{K\cup\{z_0\}}}\) oraz \(\displaystyle{ f|_{D\cup S}}\) są ciągłe w \(\displaystyle{ z_0}\).
Potrafisz uzasadnić, że ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ K}\) oraz w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ D}\) ?
No i oczywiście trzeba jeszcze sprawdzić ciągłość w każdym punkcie zbioru \(\displaystyle{ S}\). W tym celu wybierzmy punkt \(\displaystyle{ z_0=(x_0,y_0)\in S}\). Oznaczając wyjściową funkcję przez \(\displaystyle{ f}\), wystarczy pokazać, że funkcje \(\displaystyle{ f|_{K\cup\{z_0\}}}\) oraz \(\displaystyle{ f|_{D\cup S}}\) są ciągłe w \(\displaystyle{ z_0}\).
No właśnie tu jest problem, bo niby wiem w czym rzecz, ale nie potrafię tego tak ładnie rozpisać
są ciągłe, dlatego że są one elementarne. Można też dowodzić to bardziej szczegółowo, bo stwierdzenie "funkcje są elementarne" to taki trochę skrót myślowy.
Potem stwierdzamy, że funkcje \(\displaystyle{ g|_K}\) oraz \(\displaystyle{ h|_D}\) są ciągłe (dlaczego?) oraz \(\displaystyle{ f|_K=g|_K, f|_D=h|_D}\).
Teraz powiedzmy, że badamy ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ w_0\in K}\). Można powołać się na następujące twierdzenie:
Tw. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ T:X\rightarrow Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X,Y}\) to przestrzenie metryczne, oraz \(\displaystyle{ a_0\in A\subset X}\) są takie, że \(\displaystyle{ A}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ a_0}\), a ponadto \(\displaystyle{ T|_A}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ a_0}\). Wówczas \(\displaystyle{ T}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ a_0}\).
Mówiąc obrazowo, na ciągłość funkcji w punkcie wpływają tylko wartości tej funkcji w otoczeniu tego punktu.
Ciągłość w punktach zbioru \(\displaystyle{ D}\) bada się zupełnie analogicznie, natomiast dla punktów zbioru \(\displaystyle{ S}\) (dowodząc ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ z_0\in S}\)) bardzo podobnie jak poprzednio stwierdzamy, że wspomniane już wcześniej przeze mnie funkcje \(\displaystyle{ f|_{K\cup\{z_0\}}, f|_{D\cup S}}\) są ciągłe. A że jest to warunek dostateczny ciągłości całej funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ z_0}\) można pokazać na różne sposoby (np. z definicji Cauchy'ego).
są ciągłe, dlatego że są one elementarne. Można też dowodzić to bardziej szczegółowo, bo stwierdzenie "funkcje są elementarne" to taki trochę skrót myślowy.
Potem stwierdzamy, że funkcje \(\displaystyle{ g|_K}\) oraz \(\displaystyle{ h|_D}\) są ciągłe (dlaczego?) oraz \(\displaystyle{ f|_K=g|_K, f|_D=h|_D}\).
Teraz powiedzmy, że badamy ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ w_0\in K}\). Można powołać się na następujące twierdzenie:
Tw. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ T:X\rightarrow Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X,Y}\) to przestrzenie metryczne, oraz \(\displaystyle{ a_0\in A\subset X}\) są takie, że \(\displaystyle{ A}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ a_0}\), a ponadto \(\displaystyle{ T|_A}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ a_0}\). Wówczas \(\displaystyle{ T}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ a_0}\).
Mówiąc obrazowo, na ciągłość funkcji w punkcie wpływają tylko wartości tej funkcji w otoczeniu tego punktu.
Ciągłość w punktach zbioru \(\displaystyle{ D}\) bada się zupełnie analogicznie, natomiast dla punktów zbioru \(\displaystyle{ S}\) (dowodząc ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ z_0\in S}\)) bardzo podobnie jak poprzednio stwierdzamy, że wspomniane już wcześniej przeze mnie funkcje \(\displaystyle{ f|_{K\cup\{z_0\}}, f|_{D\cup S}}\) są ciągłe. A że jest to warunek dostateczny ciągłości całej funkcji \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ z_0}\) można pokazać na różne sposoby (np. z definicji Cauchy'ego).
czy dla punktów w zbiorze S dowodzimy przy pomocy granic?
No cóż, dowodzenie ciągłości w \(\displaystyle{ z_0\in S}\) przy pomocy granicy z definicji Cauchy'ego przebiega bardzo podobnie jak to opisałem poprzednio. Z definicji Heinego jest trochę inaczej: Wystarczy pokazać, że dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (z_n)}\) o wartościach w \(\displaystyle{ K}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ z_0}\), ciąg \(\displaystyle{ (f(z_n))}\) zbiega do \(\displaystyle{ f(z_0)}\) oraz dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (z_n)}\) o wartościach w \(\displaystyle{ D\cup S\setminus\{z_0\}}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ z_0}\) ciąg \(\displaystyle{ (f(z_n))}\) zbiega do \(\displaystyle{ f(z_0)}\).
