Matematyka.pl

Czy funkcja \(\displaystyle{ f:\RR ^{2} \rightarrow\RR}\) dana jako:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\max\left( \left| x\right| ,\left| y\right| \right) }\)

jest ciągła (w naturalnym sensie) Chyba tak, jak dobrze kojarzę, ale potrzebuję się upewnić, i z tego skorzystać( w zadaniu ze studiów).

Dodano po 24 minutach 45 sekundach:
Przepraszam, bardziej chodzi o funkcję:

\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=\max\left( \left| 2x+y\right|,\left| x+y\right| \right) }\), ale może to nic nie zmienia.

Wsk
\(\displaystyle{ \max(a, b) =\frac{a+b+|a-b|}{2} }\)

Twierdzenie: jeśli przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) pokryta jest skończoną ilością zbiorów domkniętych \(\displaystyle{ F_i}\), a funkcja \(\displaystyle{ f : X \to Y}\) jest ciągła po obcięciu do każdego \(\displaystyle{ F_i}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.

Korzystając z tego twierdzenia wystarczy zauważyć, że

\(\displaystyle{ \max \{ |x|, |y| \} = \begin{cases} |x| & \text{gdy } |x| \ge |y| \\ |y| & \text{gdy } |y| \ge |x| \end{cases}}\)

i zarówno \(\displaystyle{ |x|}\) jak i \(\displaystyle{ |y|}\) są ciągłe, więc powyższa funkcja też.