Udowodnij, że jeżeli R to promień okręgu opisanego na trójkącie, jego boki to a, b i c, oraz S to jego pole, to zachodzi równość:
S=abc/4R
-
[fade]GM 16 Szczecin.[/fade]
Wzor na pole trojkata - wyprowadzenie.
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2879
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Wzor na pole trojkata - wyprowadzenie.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a,b,c}\) boki trójkąta, przez \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) przeciwległe im kąty, \(\displaystyle{ S}\) - pole.
Wiemy, że \(\displaystyle{ S=\frac{ab}{2}\cdot \sin\gamma}\).
Z twierdzenia sinusów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{c}{\sin\gamma}=2R}\), więc
\(\displaystyle{ \sin\gamma = \frac{c}{2R}}\), czyli
\(\displaystyle{ S=\frac{ab}{2}\sin\gamma = \frac{ab}{2}\cdot \frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}}\), co było do wykazania.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Wiemy, że \(\displaystyle{ S=\frac{ab}{2}\cdot \sin\gamma}\).
Z twierdzenia sinusów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{c}{\sin\gamma}=2R}\), więc
\(\displaystyle{ \sin\gamma = \frac{c}{2R}}\), czyli
\(\displaystyle{ S=\frac{ab}{2}\sin\gamma = \frac{ab}{2}\cdot \frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}}\), co było do wykazania.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki