Wykaż, że jeżeli w trójkącie \(\displaystyle{ \sin^2\alpha=\sin^2\beta\,+\sin^2(\alpha+\beta)}\), to ten trójkąt jest prostokątny. Czy moglibyście przeprowadzić cały dowód, bo ja za bardzo nie wiem jak to się robi dokładnie.
Z góry dziex i pozdr.
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
-
Olo
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 42 razy
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
Ciężko się dowodzi czegoś co nie jest prawidłowe:).
Gdzieś musiałaś coś zgubić, może \(\displaystyle{ \sin^2\beta}\)? Może jest jakieś określenie czym są alfa i beta? Bo to nijak nie wychodzi.
Gdzieś musiałaś coś zgubić, może \(\displaystyle{ \sin^2\beta}\)? Może jest jakieś określenie czym są alfa i beta? Bo to nijak nie wychodzi.
-
czarnq
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 7 kwie 2005, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki
- Podziękował: 1 raz
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
nic nie zgubilem. wszystko tu jest. takie mam zadanie. Trzeba wykorzystac to ze jest trojkat prostokatny. Wtedy odpowiedznio sinus albo cosinus bedzie wynosil 1 lub 0.
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
Chodzi o to, że masz napisane \(\displaystyle{ \sin^{\beta}}\), jak możesz to popraw to.
-
bisz
- Użytkownik
- Posty: 572
- Rejestracja: 13 paź 2004, o 18:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 27 razy
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
rozumiiem z a oraz b to kąty ostre?
w matlabie wyliiczylem zaleznosc b od a
ale zadne z tych rozwaizan nie urzadza mnie.
w matlabie wyliiczylem zaleznosc b od a
Kod: Zaznacz cały
b=solve(sin(a)^2-sin(b)^2-sin(a+b)^2)
b =
[ 0]
[ pi]
[ pi-a]
[ -a]-
czarnq
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 7 kwie 2005, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suwałki
- Podziękował: 1 raz
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
juz poprawile. sory ale nie widzialem teog bledu. "bisz" troche nie rozumiem tego co napisales.prosilem zebyscie pokazali mi jak przeprowadzic caly dowod.
-
Olo
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 42 razy
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
Dowód:
Nazwijmy kąty tego trójkąta, a,b,c, wiemy, że jeden z nich jest równy 90 stopni.
1 przypadek) załóżmy że c jest równy 90, wtedy a=90-b stąd mamy:
\(\displaystyle{ sin^{2}(90-b)=sin^{2}b+sin^{2}90cos^{2}b=sin^{2}b+1}\)
Co jest oczywiście sprzeczne.
2. przypadek) załóżmy, że b=90:
\(\displaystyle{ sin^{2}a=sin^{2}90+sin^{2}(90+a)2cos^{2}a=0; bo sin^{2}a=1-cos^{a} i sin^{2}(90+a)=cos^{2}a}\)
Z tego wychodzi, że a=90, co jest sprzeczne
3. przypadek gdy a=90 Wtedy otrzymujemy równanie tożsamościowe 1=sin^2a+cos^2a, czyli twierdzenie jest prawdziwe.
Wniosek: Tw. jest prawdziwe, gdy przyjmiemy a=90stopni
Nazwijmy kąty tego trójkąta, a,b,c, wiemy, że jeden z nich jest równy 90 stopni.
1 przypadek) załóżmy że c jest równy 90, wtedy a=90-b stąd mamy:
\(\displaystyle{ sin^{2}(90-b)=sin^{2}b+sin^{2}90cos^{2}b=sin^{2}b+1}\)
Co jest oczywiście sprzeczne.
2. przypadek) załóżmy, że b=90:
\(\displaystyle{ sin^{2}a=sin^{2}90+sin^{2}(90+a)2cos^{2}a=0; bo sin^{2}a=1-cos^{a} i sin^{2}(90+a)=cos^{2}a}\)
Z tego wychodzi, że a=90, co jest sprzeczne
3. przypadek gdy a=90 Wtedy otrzymujemy równanie tożsamościowe 1=sin^2a+cos^2a, czyli twierdzenie jest prawdziwe.
Wniosek: Tw. jest prawdziwe, gdy przyjmiemy a=90stopni
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
Nie weimy, ze tak jest przeciez. Nalezy udowodnic , ze jesli w dowolnym trojkacie zachodzi warunek, to trojkat ten jest prostokatnyNazwijmy kąty tego trójkąta, a,b,c, wiemy, że jeden z nich jest równy 90 stopni. .
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1627
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Wykaż, że trójkąt jest prostokątny
Powiedzmy, że to będzie tak:
Niech w trójkącie ABC, boki a, b, c znajdują się naprzeciwko wierzchołków A, B, C oraz kątów odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha, \, \beta, \, \gamma}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta=180^o-\gamma}\)
Założenia:
\(\displaystyle{ \sin^2{\alpha}=\sin^2{\beta}+\sin^2{\gamma}}\), bo \(\displaystyle{ \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{(180^o-\gamma)}=\sin{\gamma}}\)
Z twierdzenia sinusów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}}\)
Mamy zatem zależności:
\(\displaystyle{ \sin^2{\alpha}=\frac{a^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}}\)
\(\displaystyle{ \sin^2{\gamma}=\frac{c^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}}\)
Podstawmy do założeń otrzymując:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}=\sin^2{\beta}+\frac{c^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}=1+\frac{c^2}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2}\)
A to już jest twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Zatem trójkąt jest prostokątny.
Niech w trójkącie ABC, boki a, b, c znajdują się naprzeciwko wierzchołków A, B, C oraz kątów odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha, \, \beta, \, \gamma}\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta=180^o-\gamma}\)
Założenia:
\(\displaystyle{ \sin^2{\alpha}=\sin^2{\beta}+\sin^2{\gamma}}\), bo \(\displaystyle{ \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{(180^o-\gamma)}=\sin{\gamma}}\)
Z twierdzenia sinusów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}}\)
Mamy zatem zależności:
\(\displaystyle{ \sin^2{\alpha}=\frac{a^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}}\)
\(\displaystyle{ \sin^2{\gamma}=\frac{c^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}}\)
Podstawmy do założeń otrzymując:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}=\sin^2{\beta}+\frac{c^2}{b^2}\cdot\sin^2{\beta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2}=1+\frac{c^2}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2}\)
A to już jest twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Zatem trójkąt jest prostokątny.