Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ h_1+h_2+h_3\geq 9r}\), gdzie h1, h2, h3 to wysokości trójkąta, a r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Edit by: c[Oo]?! temat nie regulaminowy, ten poprawiam bo to twój 1 post
Wykaż nierówność w trójkącie
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1627
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Wykaż nierówność w trójkącie
Wiemy, że pole trójkąta wyraża sie wzorem:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}h_1a=\frac{1}{2}h_2b=\frac{1}{2}h_3c}\)
\(\displaystyle{ h_1+h_2+h_3=2P(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\)
Wiemy, że P=pr czyli mamy:
\(\displaystyle{ 2P(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=r(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\)
Wystarczy pokazać, że:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9}\)
Mnożysz i masz:
\(\displaystyle{ a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2\geq 6abc}\)
To jest już nierówność Muirheada (nie wiem jak się to pisze, ale czyta Myrcheda) ...
A dla mniej wtajemniczonych to mozna przenieść 6abc na lewą strone i powstaje:
\(\displaystyle{ b(a-c)^2+a(b-c)^2+c(a-b)^2\geq 0}\)
PS. To nawet nie jest ten dział ... Przenosze
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}h_1a=\frac{1}{2}h_2b=\frac{1}{2}h_3c}\)
\(\displaystyle{ h_1+h_2+h_3=2P(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\)
Wiemy, że P=pr czyli mamy:
\(\displaystyle{ 2P(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=r(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\)
Wystarczy pokazać, że:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9}\)
Mnożysz i masz:
\(\displaystyle{ a^2b+bc^2+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2\geq 6abc}\)
To jest już nierówność Muirheada (nie wiem jak się to pisze, ale czyta Myrcheda) ...
A dla mniej wtajemniczonych to mozna przenieść 6abc na lewą strone i powstaje:
\(\displaystyle{ b(a-c)^2+a(b-c)^2+c(a-b)^2\geq 0}\)
PS. To nawet nie jest ten dział ... Przenosze