Matematyka.pl

Wykaż ,że zachodzi twierdzenie pitagorasa.

Przepraszam... Zasugerowałem się działem... Niech autor wątku napisze, czy oczekuje od nas dowodu syntetycznego, czy analitycznego - mógł pomylić działy Eh... Korzystać z twierdzenia, którego się dowodzi w dowodzie... Super:)

Tys, daj znać o jaki dowód Ci chodzi:) Jak co, to w ramach rekompensaty go napisze:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

wygrales konkurs na najbardziej niepoprawny dowod w historii matematyki

Hehehe Tomek widzę że TYŚ jest b.zadowolony z twojego dowodu że dał Ci pomógł hehe

Eh... Maniek, jak już wyżej wspomniałem czekałem na sprecyzowanie problemu... Nie doczekałem się jak narazie, więc piszę dowód syntetyczny.


Oznaczmy wierzchołek kąta prostego jako \(\displaystyle{ A}\). Pozostałe \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Zrzutujmy wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) na przeciwprostokątną \(\displaystyle{ BC}\), oznaczmy otrzymany punkt jako \(\displaystyle{ D}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ \Delta ABC \Delta DBA\sim\Delta DAC}\).

Z tego podobieństwa wynika:

\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|BC|}=\frac{|BD|}{|AB|}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|BC|}=\frac{|CD|}{|AC|}}\).

Czyli:

\(\displaystyle{ |AB|^2=|BC|\cdot |BD|}\) oraz \(\displaystyle{ |AC|^2=|BC|\cdot |CD|}\).

Po dodaniu powyższych równości stronami dostajemy:


\(\displaystyle{ |AB|^2+|AC|^2=|BC|\cdot (|BD|+|CD|)=|BC|\cdot |BC|=|BC|^2}\), co było do wykazania.


Tysu: Mam nadzieję, że o taki dowód Ci chodziło:) Co do punkcika pomógł - za tego posta proszę mi go nie dawać=)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Co do niepoprawnosci to mozna sie klocic -> w modelu arytmetycznym plaszczyzny euklidesowej ta odleglosc przyjmuje sie czesto jako aksjomat, ale niewazne;)

Inny dowod - wez 4 trojkaty prostokatne o przyprostokatnych a, b i przeciwprostokatnej c, poskladaj je tak, zeby powstal z nich kwadrat o boku dlugosci a+b i majacy w srodku taki przekrecony kwadrat o boku dlugosci c. Wtedy mozemy policzyc pole calego tego duzego "kwadrata" na 2 sposoby:
Z jednej strony \(\displaystyle{ P = 4\cdot(\frac{ab}{2}) + c^2}\) (kwadrat w srodku i trojkaty na brzegu).
Z drugiej strony zas \(\displaystyle{ P = (a+b)^2}\) (po prostu duzy kwadrat)
Teraz mamy \(\displaystyle{ (a+b)^2 = 2ab + c^2}\), co po wymnozeniu i wywaleniu tego samego z lewej i z prawej daje nam twierdzenie Pitagorasa:)

(swoja droga to moj ulubiony dowod=P)

liu pisze:Co do niepoprawnosci to mozna sie klocic -> w modelu arytmetycznym plaszczyzny euklidesowej ta odleglosc przyjmuje sie czesto jako aksjomat, ale niewazne;)

wiadomo, ze nie o to autorowi chodzilo

Spokojnie , chodzilo mi o wykazanie ,ze zachodzi twierdzenie pitagorasa. Moze faktycznie napisalem to w niewlasciwym miejscu. Jak tak to przepraszam. Ale nie wiem czy to takie straszne,ze chcialem ,aby mi to wykazano.

Tys, wszystko w porządku:) Wątek przeniosłem do tutaj, czyli do Planimetrii. Powyżej masz dwa dowody.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

alternatywnie taki interesujacy dowodzik w oparciu o teorie wymiaru. opuscmy sobie wysokosc na przeciwprostokatna. pole trojkata ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\), wiec jest rowne \(\displaystyle{ c^2}\) razy jakies zerowymiarowe cos. to zerowymiarowe cos jest jakas funkcja katow \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) przyleglych do przyprostokatnej \(\displaystyle{ f(\alpha,\beta)}\).
no i teraz mamy ta nasza opuszczona wysokosc, niech ona dzieli \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) na trojkaty o polach \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\). jako ze oba male trojkaty sa podobne do duzego, to katy sa zachowane. z wczesniejszych rozkmin mamy \(\displaystyle{ S = c^2 f(\alpha, \beta)}\), analogicznie na mocy podobienstwa trojkatow \(\displaystyle{ S_1 = a^2 f(\alpha, \beta)}\) i \(\displaystyle{ S_2 = b^2 f(\alpha, \beta)}\). no ale \(\displaystyle{ S = S_1 + S_2}\), czyli \(\displaystyle{ c^2 f(\alpha, \beta) = a^2 f(\alpha, \beta) + b^2 f(\alpha, \beta)}\). a jako ze \(\displaystyle{ f(\alpha, \beta)}\) jest niezerowe (inaczej by wszystko sensu nie mialo, bo by pole bylo zerem) mozemy sobie je spokojnie skrocic. no i mamy \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2}\).