twierdzenie cosinusów-2 zadadania

ola k · Post autor: **ola k** » 29 maja 2005, o 20:24

Nie wiem jak to jest ale zwykle rozwiązuje wiekszośc zadań bez problemu ale z trygonomertią zawsze mam jakies problemy. Jutro mam sprawdzian i musze napisac na 5 ew 4 bo u mojej nauczycielki liczy sie srednia z cotygodniowych kartkówek(narazie mam dwanmaście 5 i jedna 3) wiec blagam pomóżcie mi muszę coś z tego zrozumiec (

1.W trójkącie a

c=4:5:6. Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ cos 2\alpha=2 cos^{2}\alpha - 1}\) wykaż że \(\displaystyle{ \gamma=2\alpha}\)

2.Oblicz miary kątów trójkąta, w którym wysokośc i środkowa poprowadzone z jedeg wierzchołka dziela kat przy wierzcholku na trzy równe częsci.

z góry dzieki !!!

Post autor: **Skrzypu** » 29 maja 2005, o 21:24

tw. cosinusów

\(\displaystyle{ 4^2=5^2+6^2-2 5 6 \cos }\)
\(\displaystyle{ 5^2=4^2+6^2-2 4 6 \cos \beta}\)
\(\displaystyle{ 6^2=4^2+5^2-2 4 5 \cos \gamma}\)

wylicz cosinusy i pokaż, że \(\displaystyle{ \alpha=2 \gamma}\)

bisz · Post autor: **bisz** » 29 maja 2005, o 21:31

w 2 na oko widac ze to trojkat prostokatny o katach ostrych 60' i 30'

Post autor: **olazola** » 30 maja 2005, o 22:24

2)

Rozpatrując czerwony trójkąt z tw sinusów mamy:
\(\displaystyle{ \large\frac{a}{\sin x}=\frac{d}{\sin\(90^{\circ}-2x\)}\\a=\frac{d\sin x}{\sin\(90^{\circ}-2x\)}\\a=\frac{d\sin x}{\cos 2x}}\)

Z zielonego trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ \large\frac{a}{\sin 2x}=\frac{d}{\sin\(90^{\circ}-x\)}\\\frac{a}{\sin 2x}=\frac{d}{\cos x}}\)

Po wstawieniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \large\frac{\sin x}{\cos 2x\sin 2x}=\frac{1}{\cos x}\\\sin x\cos x=\sin 2x\cos 2x\\\sin x\cos x-2\sin x\cos x\cos 2x=0\\\sin x\cos x\(1-2\cos 2x\)=0\\\sin x\cos x=0\ \ \cos 2x=\frac{1}{2}}\)

Z tego torzymujemy że \(\displaystyle{ x=30^{\circ}\ \ x=0^{\circ}\ \ x=90^{\circ}}\)
Wiadomo jaka odpowiedź.