Matematyka.pl

Relacje dla trójkątów <mola>
Weźmy najmniejszy trójkąt o bokach 3 , 8 , 7 , spełniający twierdzenie cosinusów .
Powiększmy ten trójkąt 5-krotnie , to trójkąt o bokach ; .
a) 15 , 40 ,( 35) ; o długości baków łamanych = 55 ( z punktu padania i odbicia P' )
Obwód tego trójkąta jest najmniejszym obwodem = 90 , dla kąta (60 )w punkcie P'
Podobnie :
Weźmy najmniejszy trójkąt egipski o bokach 3, 4, 5 spełniający twierdzenie Pitagorasa
Powiększmy ten trójkąt 7-krotnie , to trójkąt o bokach ;
b) 21 , 28 , ( 35) : o długości boków łamanych = 49 ( z punkcie padania i odbicia P'',)
Obwód tego trójkąta jest także najmniejszym obwodem = 84 , dla kąta (90) ,w punkcie P''
Z tych dwóch trójkątów a) i b) najmniejszy obwód ma trójkąt egipski b) jak i najmniejszą łamaną jego boków .
Stąd : w tym przypadku najkrótszą drogę należy wybrać przez punkt P'' .
Inne takie trójkąty to ;
30 , 40 , (70 )
42 ,56 . (70)
------------
Itp. ( jest równie wiele takich trójkątów )
Może jest inna metoda analityczna aby to uzasadnić :
Są i takie 25 ,40,( 35 ) , (50 , 80, (70)) itd.
Dzięki za uwagę !
Pozdrawiam .
T.W.

OK!
Inne powiązanie z tematem "trójkąt Mola"
Do ciekawych równań diofantycznych należy równanie
(X -Y )(X +Y )=400
Okazuje sią że cztery rozwiązania tego równania
tworzą cztery trójkąty prostokątne w liczbach parzystych
21, 20, 29
20, 48, 51
99, 20 ,101
15, 20 , 25
Czego nie wiedziałem .
T.W.

Mała korekta , powinno być :
21, 20, 29
20, 48, 52 ?
99, 20 ,101
15, 20 , 25 ( ten , to najmniejszy trójkąt prostokątny o bokach w liczbach całkowitych
i zarazem o najmniejszym obwodzie w liczbach parzystych .
Okazuje się że z czterech rozwiązań tego równania diofantycznego
można utworzyć cztery trójkąty prostokątne o bokach w liczbach całkowitych ,
(których suma obwodów jest zawsze liczbą parzystą )
Pokaż równanie kanoniczne tego przedłożonego równania diofantycznego .
Cytat : " Bywa czasami i tak , że co innego widzimy , a co innego rozumiemy "
T.W.

Uzupełnienie :
(X -Y )(X +Y )=400
Rozwiązanie tego równania diofantycznego z dwiema niewiadomymi .
to cztery możliwe kombinacje w liczbach całkowitych .
x , y .
-----
29 , 21 .
52 ,48 .
101 , 99
25 , 15
------
Zauważmy :
Ze z czterech powyższych trójkątów prostokątnych dwa z nich mają ciekawe właściwości ::
Trójkąt prostokątny ;
20, 48, 52 ?
To kolejny 2-gi prostokątny trójkąt pierwotny [ 5, 12, 13 ] powiększony 4 -krotnie .
należący do zbioru trójkątów pierwotnych o podobieństwie typu / b , b , b /
-----------------
Trójkąt prostokątny ;
15, 20 , 25 .
To najmniejszy prostokąty trójkąt egipski [ 3 ,4 ,5 } . powiększony 5-krotnie .
należący do zbioru trójkątów egipskich .
Pozdrawiam
T.W.

Relacje między trójkątami :
Trójkąty o równych podstawach :
3, 8 , 7 ( o kacie 60 )
5 ,8 ,7 ( o kacie 60 )
3 ,5 , 7 (o kacie 120 )
---------------------
7 , 15 , 13 (o kącie 60 )
7 , 24 , 25 ( kącie 90 )
To trójkąty o wspólnej podstawie = 7
Zauważmy że najmniejszy obwód z podanych trójkątów ma trójkąt o kącie 120
Czy można znaleźć więcej takich trójkątów o podstawie =7
T.W.

Podaj równanie kanoniczne poniższego równania diofantycznego .
(X -Y )(X +Y )= 576
[7 , 24 , 25 ( kącie 90 ) ]
O to rożwiazania tego rówania w liczbach całkowitych :
x , y
---------
25 , 7
26 , 10
32 , 18
40 , 32
51 , 45 (*)
74 , 70
145 , 143
-------
np (*) , 51-45 =6 (*) , 51+45 =96 (*) ; 6 x 96 = 576 (*)
Jak widać znalazłem aż 7 takich rozwiązań w liczbach całkowitych
Zauważmy ; to trójkąty prestokątne o bokach w liczbach calkowitych

7 ,24, 25
10 , 24, 26
18 , 24, 36
32, 24 ,40
45 , 24 , 51 , (*)
70 , 24 , 74
143 , 24 , 145
Te trójkąty maja również wsplną podstawę =24 &
To prostokątne trójkaty < mola >
Nie przypuszczałem że to rówanie diofantyczne ma 7 rowiązań w liczbach całkowitych .
Dziekuje za uwagę .
Pozdrawiam T.W.

Podsumowanie :
Dla trójkatów pitagorejskich pierwotnych
zachdzą następujące zależnosci i relacje diofantyczne :
3 ,4, 5 : ( X-Y )(x+ y )= 16 : ( ten należy do trójkatów pierwotnych i trójkątów egipskich)
5, 12 , 13 : ( X-Y )(x+ y )= 144 : ( obwót tego prostokątnego trójkata = polu tego trókąta )
7 , 24 , 25 : ( X-Y )(x+ y )= 576 ( ten ma 7 rozwiązań (kombinacji) w liczbach całkowitych ) ,( patrz poprzedni post) .
9 , 40 , 41 : ( X-Y )(x+ y )= 1600
11 , 60 , 61 : ( X-Y )(x+ y )= 3600
-
itd. .....
( zauważmy że bok parzysty tych trójkątów pitagorejskich pierwotnych podnosimy zawsze do podęgi drugiej )
( Forma kanoniczna tych równań : to ciekawe szczególne równania sprzężone hiperbol )
-
W poniższym tym załączniku znajdziemy wykaz trójkatów pitagorejskich pierwotnych (linki zewnętrzne)
https://pl.wikipedia.org/wiki/Trójki_pitagorejskie
-
Nadmieniam ze takiego ujęcia tego typu równań diafontycznych ,
nie znałazłem w dostępnych mi periodykach matematycznych jak i w poradnikach matematycznych ,
Stąd z miłą chęcią prezęntuję ten materiał ,< Zainteresowanym > , tego typu problematyką "bizantyjską"
zwaną kamykową .( Przypisywańą niekiedy też i Platonowi ) .
Pozdrawiem
T.W.

P.S
Nie jestem matematykiem . ale tego typu zagadnienia mnie bardzo interesują i intrygują .

Przykłady równań diofantycznych z dwiema niewiadomymi ,
które mają jedno rozwiązanie (X, Y ) w liczbach całkowitych :
( X-Y )(x+ y )= 100 ; x=26 , y =24
( X-Y )(x+ y )= 81 ; x= 15 , y = 12
( X-Y )(x+ y )= 72 ; x= ,19 , y = 17
( X-Y )(x+ y )= 36 ; x= 10 , y = 8
( X-Y )(x+ y )= 12 ; x= 4 , y = 2
-------------------------------
( X-Y )(x+ y )= 16 * ; x= 5 , y = 3 ( najmniejszy trójkat egipski 3, 4 * , 5)
( X-Y )(x+ y )= 625 ; x=65 , y = 60
--------------------------------
itp.
-----------
Interretacja geometryczna tych równań diofantycznych na płaszczyżnie :
to równania kanoniczne hiperbol równoosiowych ,
( o asymptotach prostopadłych ukośnych y=x , y =-x )
T.W.

Bardzo ciekawe zestawienie dla katów 60 st. przedłożył Kol. <kitsu-ne>
które wartości x i y w liczbach całkowitych spełniają równanie diodantyczne wg wzoru jaki przedlożył Kol. < arek1357>
Cytuję ; <kitsu-ne >
To prawda, ale te mają 60 stopni:
x z y
------
5, 7, 8
7, 13, 15
9, 21, 24
11, 31, 35
13, 43, 48
itd .
Tu moje pytanie .?
Czy istnieje taki algorytm , który wyznacza szukane wartosci X w liczbach całkowitych
Wskazówka ; tok to stosunkowo prosty arytmetycznie algorytm 2N-1 ; ( w całkowitych ) dla N =3 ;4; 5 ,itd
Znając wartość X ostatecznie otrzymamy równanie diofantyczne przedłożone przez <arka 1357>
z jedną niewiaomą Y (znając wartość " Z " , tego wygenerowanego wykazu )
________________
O kazuje się że istnieje też bardzo ciekawy algebraiczny " algorytm " ,
który wyznacza szukane wartości y w liczbach całkowitych .
Podaj ten algorytm
uwaga : znając wyliczona wartośc X i wyliczonną wartośc Y w liczbach calkowitych
Po spierwiastkowaniu obu stron równania podanego przez < Arka 1357>,
otrzymamy szukaną wartośc wartośc "Z"
T.W,

Są i takie trójkąty prostokatne :
21, 20 , 29
48,20, 52
99, 20 , 101
15 , 29 , 25
T.W.

Są i takie trójkąty prostokatne : teraz jest dobrze
21, 20 , 29
48,20, 52
99, 20 , 101
15 , 20 , 25 (trójkat egipski powiekszony 5-krotnie)
T.W.

Również są i takie trójkąty prostokatne :
Trójkąty prostokątne o równych prawych przyprostokątnych =72 ,
(w liczbach całkowitych )
96, 72 , 120 . : ,(trójkąt egipski powiększony 24 -krotnie )
54, 72 90 . , (trójkąt egipski powiększony 18 -krotnie )
-,
Trójkąty prostokątne o prawych przyprostokątnych =36
48 ,36 , 60
27, 36 , 45

96, 72 , 120 . : ,(trójkąt egipski powiększony 24 -krotnie )
54, 72, 90 . , (trójkąt egipski powiększony 18 -krotnie )
-----------
Są i takie;
65, 72 ,97 .
21, 72 ,75
---------,
To trójkąty diofantyczne ,w liczbach całkowitych
- łacznie 4 kombinacje
o prawych bokach przyprostokatnych równych 72 ( cm).
T.W.

Załącznik :
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Herona

Są i takie trójkąty prostokatne , o bokach w liczbach całkowitych
11, 60 , 61 . , ( 5-ty trójkąt pitagorejski pierwotny )
25, ,60, ,65. , ( 2-gi trójkąt pitagorejski pierwotny powiększony 5-krotnie )
63 , 60, 87. ,
80 , 60 ,100. , ( trójkąt egipski powiekszony 20-krotnie )
91 , 60 , 109
144, 60, , 156 . , ( 2-gi trójkąt pitagorejski pierwotny powiększony 12-krotnie )
-
3, 5 , 7, 9, 11, 13, 15 ..itd. nr liczby nieparzystej to kolejno : 1, 2, 3 , 4 , 5. 6 .7 ,... itd.
( przykładowo drugi trójkąt pitagorejski pierwotny ma wymiary w liczbach całkowitych . 5, 12, 13, )
-
Podany zbiór trójkatów :
to trójkąty prostokątne o prawych przprostokątnych równych 60(cm)
Łacznie mamy 6 komminacji o bokach w liczbach całkowitych