Matematyka.pl

Witam, mam chyba klasyczne zadanie, którego nie mogę niestety znaleźć w internecie.

Mając dane długości środkowych \(\displaystyle{ p, q, r}\) należy obliczyć pole trójkąta.

Udowodniłem że pola małych sześciu trójkątów na jakie dzielą trójkąt środkowe są równe, natomiast nie wiem co dalej - w jaki sposób obliczyć pole takiego małego trójkąta, w którym mam tylko 2 boki (części środkowych). Pole danego trójkąta to będzie wtedy 6 razy pole takiej małej części.

Pozdrawiam i proszę o wskazówki

Środkowa \(\displaystyle{ p}\) opuszczona na bok \(\displaystyle{ c}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2 } \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)
Możesz ułożyć układ 3 równań z 3 niewiadomymi bokami i obliczyć boki

Oblicz ze wzoru Herona pole trojkata utworzonego ze środkowych a potem wykorzystaj to, że jego pole jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) pola wyjściowego trójkąta.

A skąd to 3/4?
Zależy mi na bardziej eleganckim rozwiązaniu niż palowanie wszystkich boków z tw cosinusow

No to mój sposób jest ładny wg mnie. To \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) bierze się stąd, że możesz zbudować trójkat o bokach długości \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) boków wyjściowego. Łącząc odcinkami punkty dzielące boki tego trójkąta w stosunku 1:2 otrzymasz właśnie trójkat zbudowany ze środkowych. Wystarczy teraz od pola tego dużego trójkąta odjąć pola trójkątów wierzcholkowych i otrzymasz pole trójkąta zbudowanego ze środkowych. A więc korzystając z podobienstwa i wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{a\cdot h}{2}}\), jeśli przez \(\displaystyle{ S}\) oznaczymy pole trójkąta wyjściowego, to pole trójkąta zbudowanego ze środkowych wynosi:
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{2}\right)^2 S-3\cdot \frac{S}{2}=\frac{3}{4}S}\).

Jasne, twój jest ładny, tamto zdanie odnosiłem do postu Ani221.
Natomiast niestety nie do końca rozumiem ten pomysł - na rysunku jest trojkąt podobny w skali \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) to trójkąta wyjściowego, a zaznaczone punkty dzielą go na trzy równe części. Które punkty należy połączyć żeby uzyskać trójkąt złożony ze środkowych wyjściowego trójkąta?


(po kliknięciu większy rozmiar)

Michalinho pisze:\(\displaystyle{ D, F, I}\)

Hm, no dobra i teraz \(\displaystyle{ DF}\) jest środkową trójkąta \(\displaystyle{ DGB}\) który jest przystający do wyjściowego, \(\displaystyle{ DI}\) jest środkową \(\displaystyle{ AEI}\), który też jest przystający do wyjściowego, natomiast trzeci odcinek - \(\displaystyle{ FI}\) jest środkową trójkąta \(\displaystyle{ BIG}\) który wcale do wyjściowego przystający nie jest?

\(\displaystyle{ FI}\) jest środkową \(\displaystyle{ FCH}\), który jest przystający do wyjściowego.