Jak udowodnić, że jeżeli środkowe w trójkącie są jednakowej długości to trójkąt jest równoboczny ?
Pozdrawiam i dziękuję za odpowiedzi
Środkowe w trójkącie [d-d]
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Środkowe w trójkącie [d-d]
Korzystając z twierdzenia cosinusów łatwo można pokazać (spójrz np.tutaj ), że długość środkowej w trójkącie o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest równa \(\displaystyle{ m=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2 +2c^2 -a^2}}\). Skoro środkowe są jednakowej długości, to zachodza następujące równości:
\(\displaystyle{ 2b^2 +2c^2 -a^2 =2c^2 +2a^2 - b^2 2c^2 +2a^2 - b^2= 2a^2+2b^2 - c^2 \\ 3b^2=3a^2 3c^2=3b^2 \\ a=b b=c}\)
Stąd wynika, że trójkąt ten jest równoboczny.
\(\displaystyle{ 2b^2 +2c^2 -a^2 =2c^2 +2a^2 - b^2 2c^2 +2a^2 - b^2= 2a^2+2b^2 - c^2 \\ 3b^2=3a^2 3c^2=3b^2 \\ a=b b=c}\)
Stąd wynika, że trójkąt ten jest równoboczny.